$1/sqrt(sinx+2)+1/(sinx+cosec(pi/6))>0$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva la disequazione che segue

Calcoliamo il valore della cotangente

$cot(pi/6)=1/(sin(pi/6))=frac{1}{1/2}=2$

Perciò si ha

$1/sqrt(sinx+2)+1/(sinx+2)>0$

Poniamo

$sqrt(sinx+2)=t$

e otteniamo

$1/t+1/t^2>0$

ovvero

$frac{t+1}{t^2}>0$

Possiamo limitarci a risolvere

$t+1>0$

poichè

$t^2>0$

Inoltre non c’è nemmeno bisogno di considerare il caso in cui il denominatore si annulla: infatti

$sqrt(sinx+2)>0$ perchè il valore minimo del seno $-1$ e quindi si avrebbe al peggio $sqrt(-1+2)=sqrt(1)$ che è maggiore di zero.

Andando avanti, si giunge a

$t> -1$

ovvero

$sqrt(sinx+2)> -1$

In base alle considerazioni precedenti, possiamo dire che la disequazione è sempre verificata, perchè il radicale ha sempre radicando positivo (è sempre definito quindi) e inoltre è sempre positivo, per cui maggiore di un negativo ($-1$ nel nostro caso).

Perciò possiamo scrivere che la disequazione è vera

$forallx inRR$

Fine