$2^(2x+5) +2*3^(x+2)=3^(x+3)+2^(2x+4)$

A cura di: Stefano Sannella

Sia da risolvere questa equazione esponenziale:
$2^(2x+5) +2*3^(x+2)=3^(x+3)+2^(2x+4)$

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Applicando le note proprietà delle potenze, e portando tutti i termini al primo membro, otteniamo
$2^(2x)*2^5+2*3^x*3^2-3^x*3^3-2^(2x)*2^4=0$
ora possiamo raccogliere i fattori comuni $2^(2x)$ e $3^x$, ottenendo
$2^(2x)*(2^5-2^4)+3^x*(2*3^2-3^3)=0$
Ma $2^5-2^4=2^4$ e $2*3^2-3^3=18-27=-9=-3^2$
quindi si ha facilmente
$2^4*2^(2x)=3^2*3^x$
cioè
$2^(2(x+2))=3^(x+2)$
Passando ora ai logaritmi e usando le loro proprietà, abbiamo
$2(x+2)log(2)=(x+2)log3$
Portando ora tutto a sinistra
$(2log2)*(x+2)-(log3)*(x+2)=0$
e raccogliendo la parentesi si giunge a
$(x+2)*(2log2-log3)=0$

Questa equazione deve essere vista come una del tipo
$ax=0$ dal momento che $2log2-log3$ è un semplice costante.
In definitiva, la quantità di sinistra vale $0$ solo quando si annulla $x+2$, quindi la soluzione è
$x=-2$

FINE