$2cos^2x+|cosx| \lt sin^2x-cosx$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva

$2cos^2x+|cosx| lt sin^2x-cosx$

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La disequazione è abbastanza comune, anche se è presente un valore assoluto che richiede la discussione dell’argomento.

Iniziamo a distinguere i due casi

 

Se $cosx>0$

la disequazione diventa

$2cos^2x+cosx<sin^2x-cosx$ cioè

$2cos^2x+2cosx-sen^2x<0$ che diventa

$3cos^2x+2cosx-1<0$ cioè, una volta trovate le radici, equivale a

$-1<cosx<1/3$

Ma non dobbiamo dimenticare la condizione iniziale $cosx>0$ che restringe l’intervallo trovato in $0<cosx<1/3$ (si è eseguita l’intersezione dei due insiemi di valori di $cosx$)

cioè

$arccos(1/3)+2kpi<x<pi/2+2kpi$ oppure $3pi/2+2kpi<x<(2pi-arccos(1/3))+2kpi$

 

 Se $cosx<0$ allora la disequazione diventa

$2cos^2x-cosx<sin^2x-cosx$ cioè

$2cos^2x-sen^2x<0$ ovvero

$3cos^2x-1<0$ che è soddisfatta se

$-sqrt(3)/3<cosx<sqrt(3)/3$

Ma anche questa volta dobbiamo restringere il campo, perchè abbiamo pur sempre che $cosx<0$.

Pertanto la disequazione è soddisfatta per quei $x$ tali che $-sqrt(3)/3<cosx<0$ cioè

$pi/2+2kpi<x<arcos(-sqrt(3)/3)+2kpi$ oppure $(2pi-arcos(-sqrt(3)/3))+2kpi<x<3pi/2+2kpi$

Le suddette soluzioni possono essere raggruppate, per cui la disequazione finale è soddisfatta per:

$arcos(1/3)+2kpi<x<arcos(-sqrt(3)/3)+2kpi$ oppure $(2pi-arcos(-sqrt(3)/3))+2kpi<x<(2pi-arcos(1/3))+2kpi$

 

Se infine

$cosx=0$

la disequazione diventa $sin^2x>0$ che è vera $AAx -{kpi+2kpi}$

 

FINE