$4sin^2x+3tg^2x=12$

A cura di: Francesco Speciale

$4sin^2x+3tg^2x=12$

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$4sin^2x+3tg^2x=12$
$4sin^2x+3(sin^2x)/(cos^2x)=12$;
Moltiplicando ambo i membri per $cos^2x$
$4(cos^2x)(sin^2x)+3(sin^2x)=12(cos^2x)$
Posto $sin^2x=1-cos^2x$ e sostituendo
$4cos^2x(1-cos^2x)+3(1-cos^2x)=12cos^2x$;
$4cos^2x-4cos^4x+3-3cos^2x-12cos^2x=0$;
Raccogliendo i termini simili e cambiando di segno
$4cos^4x+11cos^2x-3=0$;
Poniamo $y=cos^2x$ e risolviamo l’equazione di secondo grado tenendo presente la condizione $0<=sqrty>=1$

$4y^2+11y-3=0$
$Delta=b^2-4ac=(11)^2-4*4*(-3)=121+48=169$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(-11+-sqrt(169))/8=(-11+-13)/8 => y_1=(-11+13)/8=1/4 ^^ y_2=(-11-13)/8=-3$.

L’unica soluzione accettabile sarà $y=1/4=cos^2x => cosx=1/2$.
Pertanto
$x=arccos(1/2)+k(pi)=+-60^circ+k(pi)$   $AA k in ZZ$.