A cura di: Stefano Sannella
Risolvere
$5(sin^4x+cos^4x)=2(1+3sin^2xcos^2x)$.
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Iniziamo con una mossa astuta:
sommiamo al primo e secondo membro un addendo del tipo $10sin^2x*cos^2x$ ottenendo
$5(sin^4x+cos^4x)+10sin^2x*cos^2x=2(1+3sin^2xcos^2x)+10sin^2x*cos^2x$ da cui, raccogliendo opportunamente si ha
$5(sin^4x+cos^4x+2sin^2xcos^2x)=2+16sin^2xcos^2x
Ovvero
$5(sin^2x+cos^2x)^2=2+16sin^2xcos^2x$
Ma la parentesi al primo membrò non è altro che $1^2$, quindi possiamo ometterlo, e rimane solo $5$
$5=2+16sin^2xcos^2x$
$3=16sin^2xcos^2x$
$3=(4sinxcosx)^2$
$3=(2sin2x)^2
$sin2x=+-(sqrt3)/2$
Ora analizziamo:
$sin2x=sqrt3/2$
comporta che
$2x=pi/3+2kpi$
ovvero
$x=pi/6+kpi$
E inoltre il seno assume quel valore anche per
2x=2/3pi+2kpi$ ovvero
$x=pi/3+kpi$
mentre invece esaminando il valore $sqrt3/2$
$sin2x=sqrt3/2$
comporta che
$2x=-2/3pi+2kpi$
$x=-pi/3+kpi$
L’altro valore è
$2x=-pi/3+2kpi->x=-pi/6+kpi$
per cui le soluzioni sono
$x=+-pi/6+kpi$
$x=+-pi/3+kpi, k in ZZ$
FINE
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