Algebra Lineare - teorema di nullità + rango

A cura di: Gianni Sammito

Siano $mathcal{V}$ e $mathcal{W}$ spazi vettoriali sullo stesso campo $mathcal{K}$ e siano

$phi: mathcal{V} to mathcal{W}$, $psi: mathcal{W} to mathcal{V}$

trasformazioni lineari da $mathcal{V}$ a $mathcal{W}$ e, rispettivamente, da $mathcal{W}$ a $mathcal{V}$. Si assuma che

$dim(mathcal{V}) = 132$, $dim(mathcal{W}) = 150$

1. È possibile che $psi phi$ sia iniettiva?
2. È possibile che $psi phi$ sia suriettiva?
3. È possibile che $psi phi$ sia invertibile?
4. È possibile che $psi$ sia suriettiva?
5. È possibile che $psi$ sia iniettiva?
6. È possibile che $psi$ sia invertibile?
7. È possibile che $dim(ker(psi)) ge 18$?
8. È possibile che $"null"(phi) = "rank"(phi)$?
9. È possibile che $"null"(phi) = 2 cdot "rank"(phi)$?

---

Le trasformazioni $phi$ e $psi$ sono componibili, perché il dominio di $psi$ coincide con il codominio di $phi$, e risulta:

Dato che $psi phi$ è un endomorfismo può essere sia iniettivo che suriettivo, quindi anche invertibile, pertanto le domande 1., 2., 3. hanno risposta ‘Sì’.
Per il teorema di nullità + rango si può scrivere:

cioè

Se $psi$ fosse suriettiva risulterebbe $rank(psi)=132$, e si troverebbe

quindi

pertanto la trasformazione $psi$ può essere suriettiva. Se $psi$ fosse iniettiva risulterebbe $"null"(psi) = 0$, e in questo caso si otterrebbe:

assurdo, perché il rango di un’applicazione lineare non può superare la dimensione del codominio, pertanto $psi$ non può essere iniettiva, quindi neanche invertibile.
Dal teorema di nullità + rango si può scrivere:

L’immagine è un sottospazio vettoriale del codominio, in questo caso quindi il rango, cioè la dimensione dell’immagine, può variare fra $0$ e $132$, di conseguenza è sempre verificata la disuguaglianza $dim(ker(psi)) ge 18$, pertanto la risposta al punto 7. è Sì.
$psi$ è suriettiva se e solo se immagine e codominio coincidono, ovvero se il rango coincide con la dimensione di $mathcal{V}$, cioè $132$. Sempre dal teorema di nullità + rango:

Se $"null"(psi) = 18$ allora $"rank"(psi)=132$: in questo caso il rango coincide con la dimensione del codominio, e la trasformazione $psi$ è suriettiva, pertanto la risposta alla domanda 8. è Sì.
Dal teorema di nullità + rango, applicato alla trasformazione $phi$, si ottiene:

Se $"null"(phi) = "rank"(phi)$ si ottiene:

Dato che $"null"(phi), "rank"(phi) le dim(mathcal{V})$ e $"rank"(phi) le dim(mathcal{W})$, i risultati sono accettabili, e la risposta alla domanda 9. è ‘Sì’.
Se $"null"(phi) = 2 cdot "rank"(phi)$ si ottiene:

cioè $"rank"(phi) = 44$ e $"null"(phi) = 88$. Dato che $"null"(phi), "rank"(phi) le dim(mathcal{V})$ e $"rank"(phi) le dim(mathcal{W})$ i risultati sono accettabili e la risposta alla domanda 10. è Sì.

 

FINE