Asintoti

Con il calcolo dei limiti si è in grado di verificare l’esistenza di eventuali asintoti orizzontali, verticali o obliqui.

Asintoto verticale
Data la funzione y = f ( x ), se si verifica che:
lim?(x → c^- )??f ( x )=± ∞?
lim?(x → c^+ )??f ( x )=± ∞?
Si dice che la retta x = c è asintoto verticale per il grafico della funzione.

Asintoto orizzontale
Data la funzione y = f ( x ), se si verifica una delle seguente condizioni:
lim?(x → + ∞)??f ( x )=q? o lim?(x → – ∞)??f ( x )=q? o lim?(x → ∞)??f ( x )=q?
Si dice che la retta y = q è asintoto orizzontale per il grafico della funzione.

Asintoto obliquo
Data la funzione y = f ( x ) se si verifica che:
lim?(x →∞)?? [ f ( x )-( mx+q ) ]=0?
Si dice che la retta di equazione y = mx + q è asintoto obliquo per il grafico della funzione.
m e q sono dati dai seguenti limiti:
m = lim?(x →∞)??(f ( x ))/x?
q = lim?(x → ∞)?? [ f ( x )-mx ]? .

Classifichiamo inoltre gli eventuali punti di discontinuità che ricordiamo possono essere di prima, di seconda o di terza specie:
Un punto x_0 di un intervallo [ a ; b ] si dice punto di discontinuità per una funzione f ( x ) se la funzione non è continua in x_0.
In punti di discontinuità posso essere di prima, seconda e terza specie.
I punti di discontinuità di prima specie
Un punto x_0 si dice punto di discontinuità di prima specie per la funzione f ( x ) quando, per x → x_0 il limite destro e il limite sinistro di f ( x ) sono entrambi finiti ma diversi fra loro. La differenza fra il limite destro e il limite sinistro si chiama salto della funzione in x_0.

Punti di discontinuità di seconda specie
Un punto x_0 si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f ( x ) quando per x → x_0 almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di f ( x ) è infinito oppure non esiste.
Punti di discontinuità di terza specie
Un punto x_0 si dice punto di discontinuità di terza specie per la funzione f ( x ) quando :
Esiste ed è finito il limite di f ( x ) per x → x_0, ossia lim?(x → x_0 )??f ( x )=l? ;
f non è definita in x_0, oppure, se lo è risulta f ( x ) ≠ l.
La continuità di una funzione invece è cosi espressa:

Funzione continua in un punto
Sia f ( x ) una funzione definita in un intervallo [ a ; b ] e x_0 un punto interno all’intervallo. La funzione f ( x ) si dice continua nel punto  x_0 quando esiste il limite di f ( x ) per x → x_0 e tale limite è uguale al valore f ( x_0 ) della funzione calcolata in x_0 :
lim?(x → x_0 )??f ( x )= f ( x_0  )?
Se consideriamo solo il limite destro o sinistro di una funzione f ( x ), possiamo dare le seguenti definizioni:
f ( x ) è continua a destra in x_0 , se f ( x_0 ) coincide con il limite destro di f ( x ) per x che tende a x_0:
lim?(x → x_0^+ )??f ( x )= f ( x_0  )?
f ( x ) è continua a sinistra in x_0, se f ( x_0 ) coincide con il limite sinistro di f ( x ) per x che tende a x_0:
lim?(x → x_0^- )??f ( x )= f ( x_0  )?
E’ possibile allora parlare di continuità anche per i punti che sono esterni all’intervallo [ a ; b ] in cui la funzione è definita.

Funzione continua in un intervallo
Una funzione definita in [ a ; b ] si dice continua nell’intervallo [ a ; b ] se è continua in ogni punto dell’intervallo.