Asintoti di $f(x)=(lnx -1)/(lnx +1)$

A cura di: Stefano Sannella

Si trovino gli eventuali asintoti della funzione

$f(x)=(lnx -1)/(lnx +1)$

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Per quanto riguarda gli asintoti obliqui, non ce ne sono. Infatti, se esistessero, avrebbero equazione

$y=mx+q$

con

$m=lim_(x->+infty)1/x*(lnx-1)/(lnx+1)=lim_(x->+infty)1/x*lim_(x->+infty)(lnx-1)/(lnx+1)=1*lim_(x->+infty)1/x$=

$1*0=0$

 

Cerchiamo eventuali asintoti orizzontali e verticali

I punti di accumulazione sono $infty$, $0$ e $e^(-1)$, infatti per questo valore attribuito all’ascissa il denominatore assume valore nullo.

 

Iniziamo con

$lim_{x to + infty} (lnx -1)/(lnx +1) =lim_{x to + infty} (1/x)/(1/x) =1$

usando la regola di De L’Hopital – Bernoulli.

Tuttavia potevamo anche procedere semplicemente notando che i valori $-1$ e $1$ perdono di significato vicino all’infinito del logaritmo, quindi avremmo avuto

$lim_{x to + infty} (lnx -1)/(lnx +1)=lim_{x to + infty} lnx/lnx=1$

Ecco un asintoto orizzontale, $y=1$ per $x to + infty$.

 

Ora passiamo a

$lim_{x to e^(-1)} (lnx -1)/(lnx +1) = lim_{x to e^(-1)} -2/(lnx +1) = $

$= + infty$ se x tende a $e^(-1)$ da sinistra

$= – infty$ se x tende a $e^(-1)$ da destra (è quel -2 a numeratore a determinare il segno).

Questo è un asintoto verticale.

 

Infine

$lim_{x to 0^+} (lnx -1)/(lnx +1) =$ (usando De L’Hopital – Bernoulli) $lim_{x to 0^+} (1/x)/(1/x) =1$

In questo caso però non si tratta di asintoto orizzontale, in $x=0$ la funzione non è definita, però tende ad assumere il valore $f(x)=1$.