Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l'area è di $120cm^2$ e $\beta=arcsin

A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l’area è di $120cm^2$ e $beta=arcsin=5/(13)$.

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Svolgimento

 

 

 

 

 

Dati
$alpha=90^circ$
$A=120cm^2$
$beta=arcsin=5/(13)$

Sappiamo che $beta=arcsin=5/(13)$ => beta=22,62^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+beta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+22,62^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-22,62^circ=67,38^circ$.
Pertanto $gamma=67,38^circ$.

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(beta)$, inoltre l’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:
$A=1/2ab(sin(gamma))=120cm^2$.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
${(1/2ab(sin(gamma))=120),(b=asin(beta)):}$;
${(1/2a(asin(beta))sin(gamma)=120),(b=asin(beta)):}$;
${(1/2a^2sin(beta)sin(gamma)=120),(b=asin(beta)):}$;
${(a^2=(120*2)/(sin(beta)sin(gamma))),(b=asin(beta)):}$;
${(a^2=(240)/(sin(22,62^circ)sin(67,38^circ))),(b=asin(beta)):}$;
${(a^2=686),(b=asin(beta)):}$;
${(a=26),(b=26*sin(22,62^circ)):}$;
${(a=26),(b=10):}$.

Per il Teorema di pitagora
$c=sqrt(a^2-b^2)=sqrt((26cm)^2-(10cm)^2)=sqrt((686cm^2)-(100cm^2))=sqrt(586)cm=24cm$.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
$2p=a+b+c=(26+10+24)cm=60cm$.