Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l'area è di $24cm^2$ e $tg(\beta)=3/4

A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l’area è di $24cm^2$ e $tg(beta)=3/4$.

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Svolgimento

 

 

 

 

Dati
$alpha=90^circ$
$A=24cm^2$
$tg(beta)=3/4$

 

Sappiamo che $tg(beta)=3/4 => beta=arctg(3/4)=36,87^circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+beta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+36,87^circ+gamma=180^circ => gamma=180^circ-90^circ-36,87^circ=53,13^circ$.
Pertanto $gamma=53,13^circ$.

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(beta)$, inoltre l’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:
$A=1/2ab(sin(gamma))=24cm^2$.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
${(1/2ab(sin(gamma))=24cm^2),(b=asin(beta)):}$;
${(1/2a(asin(beta))sin(gamma)=24),(b=asin(beta)):}$;
${(1/2a^2sin(beta)sin(gamma)=24),(b=asin(beta)):}$;
${(a^2=(24*2)/(sin(beta)sin(gamma))),(b=asin(beta)):}$;
${(a^2=(48)/(sin(36,87^circ)sin(53,13^circ))),(b=asin(beta)):}$;
${(a^2=100),(b=asin(beta)):}$;
${(a=10),(b=10*sin(36,87^circ)):}$;
${(a=10),(b=6):}$.

Per il Teorema di pitagora
$c=sqrt(a^2-b^2)=sqrt((10cm)^2-(6cm)^2)=sqrt((100cm^2)-(36cm^2))=sqrt(64)cm=8cm$.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
$2p=a+b+c=(10+6+8)cm=24cm$.