Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $15^\circ$.

A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $15^circ$.

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Svolgimento
Osserviamo che $(15^circ)=(45^circ)-(30^circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:

$sin(alpha-beta)=sin(alpha)cos(beta)-cos(alpha)sin(beta)$
$cos(alpha-beta)=cos(alpha)cos(beta)+sin(alpha)sin(beta)$
$tg(alpha-beta)=(tg(alpha)-tg(beta))/(1+tg(beta)tg(alpha))$
Nel nostro caso $alpha=45^circ , beta=30^circ$, sostituendo otteniamo

$sin(15^circ)=sin(45^circ-30^circ)=sin(45^circ)cos(30^circ)-cos(45^circ)sin(30^circ)=$
$=(sqrt2)/2(sqrt3)/2-1/2(sqrt2)/2=(sqrt6)/(4)-(sqrt2)/(4)=1/4(sqrt6-sqrt2)$.
$cos(15^circ)=cos(45^circ-30^circ)=cos(45^circ)cos(30^circ)+sin(45^circ)sin(30^circ)=$
$=(sqrt2)/2(sqrt3)/2+(sqrt2)/2*1/2=(sqrt6)/(4)+(sqrt2)/(4)=1/4(sqrt6+sqrt2)$
$tg(15^circ)=tg(45^circ-30^circ)=(tg(45^circ)-tg(30^circ))/(1+tg(30^circ)tg(45^circ))=$
$=(1-(sqrt3)/3)/(1+(sqrt3)/3*1)=(1-sqrt3)/(1+sqrt3)$.