Calcolo delle probabilità - schema di Bernoulli e teorema di Bayes

A cura di: Gianni Sammito

Si consideri l'esperimento consistente nel lancio contemporaneo di due dadi. Uno di essi è un dado non truccato, ovvero ciascuna faccia ha la stessa probabilità di manifestarsi. L'altro dado, invece è truccato e la probabilità $P(i)$ associato all'esito dell'$i$-esima vale:

 

$P(i) = {(frac{1}{10}, "se " i = 1"," 2"," ldots "," 5),(frac{1}{2}, "se " i = 6):}$

 

a) Calcolare la probabilità che la somma dei numeri risultanti dall'esperimento sia pari a $10$.

 

b) Si considerino $n$ ripetizioni indipendenti dell'esperimento precedente e sia $X$ una variabile aleatoria corrispondente al numero di volte che il lancio ha dato esito pari a $10$. Scrivere l'espressione della densità di probabilità $f_{X}(k)$ della variabile aleatoria $X$.

 

c) Scelto uno dei due dadi a caso e lanciato, calcolare la probabilità che esso sia il dado truccato noto che l'esito del lancio è stato $6$.

 

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Denotando con $omega_1$ l'esito del lancio del primo dado, con $omega_2$ l'esito del lancio del secondo dado, quello truccato, e con $S$ la somma dei punteggi

 

$P(S=10) = P({omega_1 = 4} cap {omega_2 = 6}) + P({omega_1 = 5} cap {omega_2 = 5}) + P({omega_1 = 6} cap {omega_2 = 4})$ (1)

 

Considerando che i lanci dei due dadi sono eventi indipendenti, (1) diventa

 

$P(S = 10) =   P({omega_1 = 4}) P({omega_2 = 6}) + P({omega_1 = 5}) P({omega_2 = 5}) + P({omega_1 = 6}) P({omega_2 = 4}) = frac{1}{6} cdot frac{1}{2} + frac{1}{6} cdot frac{1}{10} + frac{1}{6} cdot frac{1}{10} = frac{7}{60}$ (2)

 

Dato che $X$ è una variabile aleatorai discreta, la sua densità di probabilità vale

 

$f_{X}(k) = P(X = k)$

 

La probabilità che la somma dei punteggi ottenuti con un lancio sia $10$ vale $frac{7}{60} $, come calcolato precedentemente, quindi la probabilità che, su $n$ lanci, si ottenga come somma $10$ solo nei primi $k$ lanci vale

 

$(frac{7}{60})^k (1 – frac{7}{60})^{n – k}$ (2)

 

dato che ogni lancio è indipendente dall'altro. La probabilità che, su $n$ lanci, si ottenga come somma dei punteggi $10$ in $k$ lanci, è data dal prodotto di (2) e il numero di modi con cui si distribuiscono $k$ successi su $n$ tentativi, ovvero $((n),(k))$. Pertanto, la densità di probabilità della variabile aleatoria $X$ vale

 

$f_{X}(k) = {( ((n),(k)) (frac{7}{60})^k (1 – frac{7}{60})^{n – k}, "se " k = 1"," 2"," ldots "," n),(0, "altrimenti"):}$

 

Per risolvere il punto c), indichiamo con $"TR"$ l'evento "è stato scelto il dado truccato", con $"NTR"$ l'evento "è stato scelto il dado non truccato", e con $6$ l'evento è uscito $6$, allora

 

$P("TR " | " 6") = frac{P("6 " cap " TR")}{P(6)} = frac{P("6 " | " TR") P("TR")}{P("6 " cap " TR") + P("6 " cap " NTR")} = frac{frac{1}{2} cdot frac{1}{2}}{frac{1}{4} + P(6 | " NTR") P("NTR")} = frac{frac{1}{4}}{frac{1}{4} + frac{1}{6} cdot frac{1}{2}} = frac{3}{4}$

 

FINE