A cura di: Gianni Sammito
Una moneta e un dado non truccati vengono lanciati ripetutamente. Qual è la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6?
Definiamo due variabili aleatorie
$X = "numero del lancio in cui la moneta dà testa per la prima volta"$
$Y = "numero del lancio in cui il dado dà sei per la prima volta"$
Le due variabili aleatorie seguono queste densità di probabilità:
$p_{X}(h) = {(frac{1}{2} (frac{1}{2})^{h – 1}, "se h = 1, 2, 3, " ldots),(0, "altrimenti"):}$
$p_{Y}(k) = {(frac{1}{6} (frac{5}{6})^{k – 1}, "se k = 1, 2, 3, " ldots),(0, "altrimenti"):}$
Il lancio del dado e della moneta sono eventi indipendenti, quindi anche $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti, pertanto al densità di probabilità congiunta vale
$p_{X,Y}(h,k) = {((frac{1}{2})^{h} frac{1}{6} (frac{5}{6})^{k-1}, "se h, k = 1, 2, 3, "ldots),(0, "altrimenti"):}$
Calcolare la probabilità richiesta equivale a calcolare
$P(X < Y) = sum_{(i,j) in A} p_{X,Y}(i,j)$ (1)
dove $A = {(i,j) in mathbb{N}^{2}: i<j, i,j ne 0}$. La (1) si può scrivere come
$sum_{j=1}^{+infty} sum_{i=1}^{j-1} (frac{1}{6}) (frac{5}{6})^{j-1} (frac{1}{2})^{i} = frac{1}{6} sum_{j=1}^{+infty} (frac{5}{6})^{j-1} sum_{i=1}^{j-1} (frac{1}{2})^{i}$ (2)
Ricordando che
$sum_{k=1}^{N} q^{k} = frac{1 – q^{N+1}}{1 – q} – 1$
la (2) diventa
$frac{1}{6} sum_{j=1}^{+infty} (frac{5}{6})^{j – 1} [frac{1 – (frac{1}{2})^j}{1 – frac{1}{2}} – 1] = frac{1}{6} sum_{j=1}^{+infty} (frac{5}{6})^{j-1} (2 – (frac{1}{2})^{j-1} – 1) = frac{1}{6} sum_{j=1}^{+infty}[(frac{5}{6})^{j-1} – (frac{5}{12})^{j-1}]$ (3)
Ponendo $j – 1 = m$ la (3) diventa
$frac{1}{6} sum_{m=0}^{+infty} [(frac{5}{6})^{m} – (frac{5}{12})^{m}]$ (4)
Osservando che
$sum_{k=0}^{+infty} q^{k} = frac{1}{1 – q}$ se $|q| < 1$
ed osservando che $sum_{m=0}^{+infty} (frac{5}{6})^m$ e $sum_{m=0}^{+infty} (frac{5}{12})^m$ sono entrambe convergenti, la (4) equivale a
$frac{1}{6} [sum_{m=0}^{+infty} (frac{5}{6})^m – sum_{m=0}^{+infty} (frac{5}{12})^m] = frac{1}{6}(frac{1}{1 – frac{5}{6}} – frac{1}{1 – frac{5}{12}}) = frac{1}{6} (6 – frac{12}{7}) = frac{1}{6} frac{30}{7} = frac{5}{7}$
Pertanto, la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6 è $frac{5}{7}$.
FINE
- Matematica
- Matematica - Probabilità e Statistica
