Abbiamo visto per linee generali cosa sono i solidi, tra questi rientra anche il cono. In questo contenuto ci occuperemo di questo solido, evidenziando anche quali sono le formule per svolgere gli esercizi (es. calcolare il volume di un cono) e facendo un po' di esempi.
Definizione di cono
Partendo dalla definizione di cono, possiamo dire che è un solido dato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti. Il cateto attorno al quale avviene la rotazione è detto altezza del cono, mentre l'altro cateto è detto raggio. L'ipotenusa prende invece il nome di apotema del cono.
Un cono si dice equilatero se la lunghezza dell'apotema coincide con il diametro.
Formule del cono
Alcune formule utili per svolgere gli esercizi sul cono sono:
- Volume di un cono: $V=frac{pi r^2 h}{3}$
- Superficie totale: $S_{tot}=S_{lat}+2S_{base}$
- Superficie laterale: $S_{lat}=pi r a=S_{tot}-S_{base}$
- Superficie di base: $S_{base}=pi r^2=S_{tot}-S_{lat}$
- Perimetro di base: $2p=2pi r$
- Raggio: $r=sqrt{frac{3V}{pi h}}=frac{S_lat}{pi a}=frac{2p}{2pi}=sqrt{a^2-h^2}$
- Apotema: $a=frac{S_{lat}}{pi r}=sqrt{h^2+r^2}$
- Altezza: $h=frac{3V}{pi r^2}=sqrt{a^2-r^2}$
Esempio sul cono (1):
Calcola l'area della superficie totale e laterale di un cono, sapendo che l'altezza e l'apotema misurano rispettivamente $45 cm$ e $53 cm$.
I dati del problema:
- $h=45cm$
- $a=53cm$
- $S_{tot}=?quad S_{lat}=?$
Per risolvere il problema, è sufficiente applicare le formule del cono: $$ r=sqrt{a^2-h^2}=sqrt{53^2-45^2}=28cm $$ $$ S_{base}=pi r^2=3.14cdot 28^2=2461.76cm^2 $$ $$ S_{lat}=pi r a=3.14cdot 28cdot 53=4659.76cm^2 $$ $$ S_{tot}=S_{base}+S_{lat}=2461.76+4659.76=7128.52cm^2 $$
Esempio sul cono (2):
L'area della superficie totale di un cono è di $1440pi cm^2$ e l'area di base è $5/13$ di quella del area della superficie laterale. Calcola il volume del cono.
I dati del problema:
- $S_{tot}=1440pi cm^2$
- $S_{base}=frac{5}{13}cdot S_{lat}$
- $V=?$
Sappiamo che: $$ S_{tot}=S_{base}+S_{lat}=1440pi cm^2 $$ e $$ S_{base}=frac{5}{13}cdot S_{lat} $$ Per risolvere questo problema dobbiamo calcolare l'unita frazionaria $u_f$ nel seguente modo: $$ u_f=5+13=18 $$ cosicchè possiamo ricavarci l'area di base: $$ S_{base}=frac{S_{tot}}{u_f}cdot 5=frac{1440pi}{18}cdot 5=1256cm^2 $$ Mentre la superficie laterale è: $$ S_{lat}=frac{S_{tot}}{u_f}cdot 13=frac{1440pi}{18}cdot 13=3265.6cm^2 $$ Avendo l'area di base, possiamo trovare il raggio: $$ r=sqrt{frac{S_{base}}{pi}}=sqrt{frac{1256}{pi}}=20cm $$ Ora troviamo la circonferenza: $$ C=2cdotpicdot r=2cdot 3.14cdot 20=125.6cm $$ Troviamo, dunque, l'apotema del cono: $$ a=frac{2cdot S_{lat}}{C}=frac{2cdot 3265.6}{125.6}=52cm $$ Calcoliamo l'altezza applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha per cateri il raggio $r$ e l'apotema $a$: $$ h=sqrt{a^2-r^2}=sqrt{52^2-20^2}=sqrt{2304}=48cm $$ Infine, calcoliamo il volume: $$ V=frac{picdot r^2cdot h}{3}=frac{48cdot 20^2cdotpi}{3}=20096cm^3 $$
Esercizi sul cono
- Il volume di un cono retto è $210pi cm^3$ ed il raggio di base lungo $6 cm$. Calcola l'area della superficie totale.
- Calcola l'area della superficie laterale e totale di un cono alto $60 cm$ e avente l'apotema lungo $61 cm$.
- Immergendo un corpo in un recipiente colmo di acqua traboccano $0,78 l$ di liquido. Sapendo che il cono pesa $8,19 kg$, calcola il suo peso specifico e indica il materiale di cui è fatto.
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