A cura di: Gianni Sammito
Determinare, se possibile, le costanti $a, b in mathbb{R}$ in modo che la seguente funzione reale di variabile reale sia continua in $mathbb{R}$.
$f(x) = {(e^{frac{1}{x}}, "se " x in (-infty, 0)),(a x^4 + b, "se " x in [0, frac{pi}{2}]),(sin(x), "se " x in (frac{pi}{2}, +infty)):}$
La funzione è continua in $mathbb{R} setminus {0, frac{pi}{2}}$ indipendentemente dai valori di $a,b$, perché ottenuta per composizione di funzioni continue. Si devono quindi determinare $a, b in mathbb{R}$ affinché la funzione sia continua pure in $0$ e $frac{pi}{2}$.
La $f$ è continua in $0$ se e solo se
$lim_{x to 0^{-}} f(x) = lim_{x to 0^{+}} f(x) = f(0)$
$lim_{x to 0^{-}} f(x) = lim_{x to 0^{-}} e^{frac{1}{x}} = 0$
$lim_{x to 0^{+}} f(x) = lim_{x to 0^{+}} a x^4 + b = b$
Affinché i limiti destro e sinistro di zero siano uguali è necessario che valga $b = 0$. Inoltre $f(0) = b$, pertanto, scegliendo $b=0$, la funzione risulta continua in $0$. Ragionando allo stesso modo per $frac{pi}{2}$, e considerando $b=0$, si ottiene
$lim_{x to frac{pi}{2}^{-}} f(x) = lim_{x to frac{pi}{2}^{-}} a x^4 = a frac{pi^4}{16}$
$lim_{x to frac{pi}{2}^{+}} f(x) = lim_{x to frac{pi}{2}^{+}} sin(x) = 1$
Affinché i limiti destro e sinistro siano uguali è necessario scegliere $a=frac{16}{pi^4}$. Dato che $f(frac{pi}{2}) = a frac{pi^4}{16}$, con la scelta $a=frac{16}{pi^4}$ la funzione risulta continua pure in $frac{pi}{2}$.
In conclusione, affinché la $f$ sia continua in tutto $mathbb{R}$, è necessario scegliere $a = frac{16}{pi^4}$ e $b = 0$.
FINE
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