A cura di: Francesco Speciale
Dal punto $(-4;2)$ condurre le tangenti all’ellisse $(x^2)/9+y^2=1$.
Svolgimento
Indichiamo con $P$ il punto di coordinate $(-4;2)$.
L’equazione $(x^2)/9+y^2=1$ equivale a $x^2+9y^2=9$
La generica retta per $P$ ha equazione $y-2=m(x+4)$
Poniamo a sistema l’equazione della retta con quella dell’ellisse;
l’equazione risolvente il sistema dovrà avere il discriminante nullo (condizione di tangenza)
${(y-2=m(x+4)),(x^2+9y^2=9):}$;
${(y=m(x+4)+2),(x^2+9(m(x+4)+2)^2=9):}$;
${(y=m(x+4)+2),(x^2+9(m^2(x+4)^2+4+4m(x+4))=9):}$;
${(y=m(x+4)+2),(x^2+9(m^2(x^2+16+8x)+4+4mx+16m)=9):}$;
${(y=m(x+4)+2),(x^2+9(x^2m^2+16m^2+8xm^2+4+4mx+16m)=9):}$;
${(y=m(x+4)+2),(x^2+9x^2m^2+144m^2+72xm^2+36+36mx+144m=9):}$;
${(y=m(x+4)+2),((1+9m^2)x^2+36mx(1+2m)+54m+27+144m^2=0):}$;
Studiamo l’equazione di secondo grado
$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(18m(1+2m))^2-(54m+27+144m^2)(1+9m^2)=0$ (condizione di tangenza)
Risolviamo l’equazione
$(18m(1+2m))^2-(54m+27+144m^2)(1+9m^2)=0$;
$324m^2(1+4m^2+4m)-144m^2-144m-27-1296m^4-1296m^3-243m^2=0$;
$324m^2+1296m^4+1296m^3-387m^2-144m-27-1296m^4-1296m^3=0$;
Raccogliamo i termini simili
$-63m^2-144m-27=0$;
Cambiando di segno e semplificando
$7m^2+16m+3=0$
Troviamo, ora, i valori di $m$ per cui vale l’equazione
$7m^2+16m+3=0$
$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(8)^2-(7*3)=64-21=43$
$m_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(-8+-sqrt(43))/7 => m_1=(-8+sqrt(43))/7 ^^ m_2=(-8-sqrt(43))/7$.
Pertanto l’equazioni delle rette passanti per $P$ e tangenti l’ellisse $(x^2)/9+y^2=1$ saranno:
$y-2=(-8+-sqrt(43))/7(x+4)$.
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