A cura di: Stefano Sannella
Dato il punto $P(1,7)$ trovare l’equazione delle rette passanti per esso e distanti 5 dall’origine.
Per indicare che passano per il punto P(1;7) usiamo l’equazione del fascio:
$y-y_0=m(x-x_0)$
e otterremo
$y=mx-m+7$
ovvero
$mx-y+7-m=0$
Per la distanza usiamo la formula:
$|ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$
nel nostro caso abbiamo
$x_0=0$
$y_0=0$
$c=7-m$
$a=m$
$b=-1$
Perciò sostituendo tali valori nella formula abbiamo
$|m-7|/sqrt(m^2+1)=5*$
ovvero
$|m-7|=5*sqrt(m^2+1)$.
Ora se $m>=7->|m-7|=m-7$ per cui si ha
$m-7=5sqrt(m^2+1)$ da cui elevando al quadrato si ha:
$12m^2+7m-12=0->m=(-7+-25)/24->m_1=3/4,m_2=-4/3$ che sono entrambi non accettabili perchè minori di $7$.
se $m<7->|m-7|=7-m$ ed elevando al quadrato si ha
$12m^2+7m-12=0->m=(-7+-25)/24->m_1=3/4,m_2=-4/3$ che sono ora entrambi accettabili. per cui le rette sono
$y=3/4x+25/4$
$y=-4/3x+25/3$
Volendo potevamo anche evitare la discussione del valore assoluto ed elevare al quadrato entrambi i membri, ma abbiamo preferito ripassare anche un po’ di moduli.
FINE
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