Densità di probabilità discrete - densità congiunta e marginali

Da un'urna contenente $6$ palline numerate da $1$ a $6$, se ne estraggono $2$ con rimpiazzo. Indicando con $X_1$ e $X_2$ rispettivamente i risultati delle due estrazioni, si calcoli la densità di probabilità congiunta $f_{X_1, X_2}(h,k)$ e le densità di probabilità marginali $f_{X_1}(h)$, $f_{X_2}(k)$ di $X_1$ e $X_2$. Si ripeta l'esercizio nel caso in cui le due estrazioni avvengano senza rimpiazzo. In quale dei due casi le variabili aleatorie $X_1$ e $X_2$ sono indipendenti?

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Se l'estrazione avviene con rimpiazzo le due variabili aleatorie sono indipendenti. In questo caso infatti, dopo ogni estrazione, ogni pallina viene reinserita nell'urna,  pertanto le varie estrazioni sono fra loro eventi indipendenti.  Queste sono le densità di probabilità marginali:

 

$f_{X_1}(h) = P(X_1 = h) = {(frac{1}{6}, "se " h=1"," 2"," ldots","6),(0, "altrimenti"):} quad quad f_{X_2}(k) = P(X_2 = k) = {(frac{1}{6}, "se "k = 1"," 2"," ldots ","6),(0, "altrimenti"):}$

 

$X_1$ e $X_2$ sono variabili aleatorie indipendenti, quindi la densità di probabilità congiunta è il prodotto delle densità di probabilità marginali:

 

$f_{X_1, X_2}(h,k) = f_{X_1}(h) f_{X_2}(k) = {(frac{1}{36}, "se " h"," k = 1"," 2"," ldots","6),(0, "altrimenti"):}$

 

Se invece c'è rimpiazzo le due estrazioni non sono eventi indipendenti, dal momento che la pallina estratta per prima non viene reinserita nell'urna. In questo caso la densità di probabilità congiunta, per $1 le h,k le 6$, vale

 

$f_{X_1, X_2}(h, k) = P({X_1 = h} cap {X_2 = k}) = P({X_2 = k} | {X_1 = h}) P(X_1 = h) = {(0, "se " h = k),(frac{1}{5} cdot frac{1}{6}, "se " h ne k):}$

 

Quindi l'espressione della densità di probabilità congiunta è

 

$f_{X_1, X_2}(h, k) = {(frac{1}{30}, "se " h"," k = 1"," 2"," ldots"," 6 "," h ne k),(0, "altrimenti"):}$

 

Calcoliamo ora le densità di probabilità marginali a partire dalla densità congiunta:

 

$f_{X_1}(h) = sum_{k = 0}^{+ infty} f_{X_1, X_2}(h, k) = sum_{k = 1, k ne h}^{6} frac{1}{30} = frac{1}{30} cdot 5 = frac{1}{6} quad "se "h = 1, 2, ldots 6$

 

$f_{X_2}(k) = sum_{h = 0}^{+ infty} f_{X_1, X_2}(h, k) = sum_{h = 1, h ne k}^{6} frac{1}{30} = frac{1}{30} cdot 5 = frac{1}{6} quad "se "k = 1, 2, ldots 6$

 

FINE