A cura di: Gianni Sammito
Si consideri la funzione
$f_{X}(xi) = {(-frac{1}{alpha^2} (xi – alpha), "se " 0 le xi < alpha),(-frac{1}{alpha^2} (xi – 2 alpha), "se " alpha le xi < 2 alpha),(0, "altrimenti"):}$
a) Mostrare che per ogni $alpha > 0$, $f_{X}(xi)$ rappresenta una funzione di densità di probabilità.
b) Sia $X$ una variabile aleatoria con densità di probabilità $f_{X}(xi)$. Calcolare il valor medio $m_X$ e la varianza $sigma_{X}^2$ di $X$ nel caso in cui $alpha = 2$.
Una funzione $f_{X}(xi)$ è una densità di probabilità se e solo se:
$f_{X}(xi) ge 0 quad forall xi in mathbb{R}$ (1)
$int_{-infty}^{+infty} f_{X}(xi) d xi = 1$ (2)
Se $0 le xi < alpha$ allora $xi – alpha < 0$, pertanto $-frac{1}{alpha^2} (x – alpha) > 0$, inoltre se $alpha le xi < 2 alpha$ allora $x – 2alpha < 0$, pertanto $-frac{1}{alpha^2} (x – 2 alpha) > 0$. di conseguenza la condizione (1) è verificata.
$int_{-infty}^{+infty} f_{X}(xi) d xi = int_{0}^{alpha} – frac{1}{alpha^2} (xi – alpha) d xi + int_{alpha}^{2 alpha} -frac{1}{alpha^2} (xi – 2 alpha) d xi =$
$ = – frac{1}{2 alpha^2} [(xi – alpha)^2]_{0}^{alpha} – frac{1}{2 alpha} [(xi – 2alpha)^2]_{alpha}^{2 alpha} = – frac{1}{2 alpha} (- alpha^2) – frac{1}{2 alpha^2} (- alpha^2) = frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1$
quindi anche la condizione (2) è rispettata, pertanto, per $alpha > 0$, $f_{X}(xi)$ rappresenta una densità di probabilità. Se $alpha = 2$ allora
$f_{X}(xi) = {(-frac{1}{4} (xi – 2), "se " 0 le xi < 2),(-frac{1}{4} (xi – 4), "se " 2 le xi < 4),(0, "altrimenti"):}$
Il valor medio risulta pari a
$m_X = E[X] = int_{-infty}^{+infty} xi f_{X}(xi) d xi = int_{0}^{2} (- frac{1}{4} xi^2 + frac{1}{2} xi) d xi + int_{2}^{4} (- frac{1}{4} xi^2 + xi) d xi = – frac{1}{12} [xi^3]_{0}^{2} + frac{1}{4} [xi^2]_{0}^{2} – frac{1}{12} [xi^3]_{2}^{4} + frac{1}{2} [xi^2]_{2}^{4}=$
$ = – frac{8}{12} + frac{4}{4} – frac{56}{12} + frac{12}{2} = -frac{16}{3} + 1 + 5 = frac{5}{3}$
La varianza invece vale
$sigma_{X}^2 = E[(X – m_X)^2] = E[X^2 – 2X m_X + m_{X}^2] = E[X^2] – 2 m_XE[X] + m_{X}^2 = E[X^2} – 2m_{X}^2 + m_{X}^2 = E[X^2] – m_{X}^2$
Conviene quindi calcolare il valor quadratico medio
$E[X^2] = int_{-infty}^{+infty} xi^2 f_{X}(xi) d xi = int_{0}^{2} (- frac{1}{4} xi^3 + frac{1}{2} xi^2) d xi + int_{2}^{4} (- frac{1}{4} xi^3 + xi^2) d xi = – frac{1}{16} [xi^4]_{0}^{2} + frac{1}{6} [xi^3]_{0}^{2} – frac{1}{16} [xi^4]_{2}^{4} + frac{1}{3} [xi^3]_{2}^{4}=$
$ = – frac{16}{16} + frac{8}{6} – frac{240}{16} + frac{56}{3} = -16 + frac{120}{6} = -16 + 20 = 4$
Pertanto la varianza di $X$ vale
$sigma_{X}^{2} = E[X^2] – m_{X}^2 = 4 – frac{25}{9} = frac{36 – 25}{9} = frac{11}{9}$
FINE
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