Dopo aver calcolato la derivata prima f’ ( x ) della funzione f ( x ), studiamo il segno di essa, determinando gli intervalli in cui essa è crescente decrescente e gli eventuali punti stazionari:
se f’ ( x ) > 0 , f è crescente;
se f’ ( x ) < 0, f è decrescente;
se f’ ( x ) = 0, f ha in x un punto stazionario.
Sia data la funzione y = f ( x ) definita e continua in un intorno completo di I_(x_0 ) del punto x_0 e derivabile nello stesso intorno per ogni x ≠ x_0.
Se per ogni x ≠ x_0 dell’intorno:
si ha f ‘ ( x ) > 0 per x < x_0 e f’ ( x ) < 0 per x > x_0, allora x_0 è un punto di massimo relativo;
si ha f ‘ ( x ) < 0 per x < x_0 e f ‘ ( x ) > 0 per x > x_0 , allora x_0 è un punto di minimo relativo;
il segno della derivata prima è sempre lo stesso, allora x_0 non è n punto estremante.
Data la funzione y = f ( x ) definita e continua in un intorno completo del punto x_0 e derivabile nello stesso intorno, se:
f’ (x_0 ) = 0
il segno della derivata prima è lo stesso per ogni x ≠ x_0 dell’intorno,
Allora x_0 è un punto di flesso orizzontale.
Lo studio della derivata prima permette di verificare la presenza di altri punti particolari: i punti angolosi, le cuspidi ed i flessi (orizzontali e verticali).
Punto angoloso: è presente quando esistono e sono diverse la derivata destra e la derivata sinistra della funzione f ( x ) in un punto x_0 del dominio.
La cuspide è un caso particolare del punto angoloso. E’ presente quando esistono infinite ma di segno opposto derivate destre e derivate sinistre della funzione f ( x ) in un punto x_0 del dominio. La funzione nel punto x_0 potrà essere:
Cuspide rivolta verso il basso se: f_-^' ( x_0 ) = – ∞ ∧ f_+^' ( x_0 ) = + ∞
Cuspide rivolta verso l’alto se: f_-^' ( x_0 ) = + ∞ ∧ f_+^' ( x_0 ) = – ∞
Punto di flesso verticale: Esiste se in un punto x_0 del dominio la funzione f ( x ) derivata non esiste, ma la derivata destra e la derivata sinistra sono infinita e dello stesso segno. La funzione ha in x_0 :
Flesso ascendente verticale se: f_-^' ( x_0 ) = f_+^' ( x_0 ) = + ∞
Flesso discendente verticale se: f_-^' ( x_0 ) = f_+^' ( x_0 ) = – ∞
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