Derivate

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DERIVATE Concetto di rapporto incrementale Consideriamo una funzione y=f(x) definita in un intervallo di estemi a e b. Sia un punto del suo dominio. Diamo a un incremento h positivo, otteniamo così il punto . La funzione, mentre la variabile indipendente passa da a , varia da a , cioè subisce l’incremento – . Al rapporto fra l’incremento della y e quello della x, cioè a: si dà il nome di rapporto incrementale della funzione f(x) nel punto . La definizione è valida anche considerando un incremento negativo. Dal punto di vista geometrico, (vedi figura), il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta secante passante per i punti P e Q. Ciò è facilmente comprensibile se si tiene conto che il coefficiente angolare della retta passante per P e Q è uguale a ( rappresenta l’angolo che la retta forma col semiasse positivo delle x e anche l’angolo in P ) e che: = . (In ogni triangolo rettangolo, la tangente di un angolo è uguale al rapporto fra la misura del cateto opposto e quella del cateto adiacente all’angolo.) Derivata di una funzione Si definisce derivata prima o semplicemente derivata della funzione f(x) nel punto del suo dominio il limite se esiste ed è finito del rapporto incrementale, cioè: e si indica con i simboli , , . La derivata, dal punto di vista geometrico, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto P. Infatti , tenuto conto che il rapporto incrementale è uguale al coefficiente angolare della secante e considerato che al tendere di h a 0 la secante tende a diventare la tangente, l’affermazione è senz’altro vera. Calcolo di derivate di funzioni elementari Vogliamo ora determinare le derivate di alcune funzioni elementari. Iniziamo con f(x)=k (costante) nel punto =1. A tal fine dobbiamo calcolare il limite La derivata di una costante, indipendentemente dal punto in cui si calcola, è uguale a 0. Se consideriamo nel punto =1, avremo: La derivata di una funzione in un punto è quindi un numero reale. Se la derivata invece viene calcolata nel punto generico x, è a sua volta una funzione della stessa variabile. Determiniamo adesso la derivata della funzione f(x)=x, nel punto x. Se , = . A questo punto possiamo costruire una tabella con alcune funzioni elementari e a fianco le corrispondenti derivate generiche. La derivata è stata indicata con il simbolo . La tabella non è completa ma include le derivate prime delle principali funzioni elementari. (segue nel file da scaricare)