A cura di: Stefano Sannella
Determina su un segmento di lunghezza $l$, un punto $P$ che divide il segmento stesso in due parti tali che la differenza fra i quadrati costruiti su di esse sia equivalente alla quarta parte del quadrato di lato $l$.
Segmento $AB = l$
$P$ divide $AB$ in $AP$ e $PB$
e definiamo $AP$ il piu’ lungo tra i due.
Il problema dice che la differenza tra i quadrati dei segmenti ($AP^2 – PB^2$) è equivalente a $1/4AB^2$
Ora noi sappiamo che
$AB = l$ (1)
$AP + PB = AB$
quindi risulta essere
$AP + PB = l$ (2)
Segue inoltre, per quanto ci dice il problema
$AP^2 – PB^2 = 1/4AB^2$
ovvero per la (1)
$AP^2 – PB^2 = 1/4l^2$ (3)
Applichiamo ora la differenza di due quadrati nella (3)
$(AP – PB)(AP + PB) = 1/4l^2$
per la (2)
$(AP – PB)*l = 1/4l^2$
per $l != 0$ dovrà quindi necessariamente essere
$AP – PB = 1/4l$
si è diviso per $l$
Perciò si ha il sistema
${(AP = 1/4l + PB),(AP + PB =l):}$
sostituiamo AP nella seconda equazione del sistema e avremo
$1/4l + PB + PB = l$
$2PB = 3/4l$
$PB = 3/8l$
sotituiamo PB nell’altra equazione
$AP + 3/8l = l$
$AP = 5/8l$
quindi le due parti sono i 3/8 e i 5/8 di $l$
FINE
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