Determinare i parametri $lim_(xto+oo)[a(e^x)+b(x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$

A cura di: Stefano Sannella

Determinare il valore dei parametri $a,b$ affinchè sia vero il limite

$lim_(xto+oo)[a(e^x)+b(x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$

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Possiamo dire che quando questo limite tende a +oo, la funzione si comporta come questa $(ae^x+bx^2)/(2x^2)$ (l’ "uno" è trascurabile, a fronte di infiniti)

Ma d’altra parte l’esponenziale ha un infinito più "forte" rispetto a una qualsiasi curva di secondo grado, quindi esso farebbe divergere a più infinito tutto il limite, ma questo non è possibile perchè il nostro limite è $1/3$, valore finito.

Quindi deduciamo che deve essere necessariamente

$a=0$

affinchè l’esponenziale sparisca

A questo punto è facile:

abbiamo

$lim_(xto+oo)[b(x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$

ma poichè $1$ lo trascuriamo, avremo

$lim_(xto+oo)[b(x^2)]/[2(x^2)]=1/3$

pertanto dovrà per forza essere che

$b/2=1/3$ da cui ricaviamo che

$b=2/3

quindi riscrivendo la funzione viene

$f(x)=[(2/3x^2)+1]/[2(x^2)]$

e facendo per scrupolo una verifica per sostituzione, una volta sostituiti i valori dei parametri trovati, eseguiamo

$lim_(xto+oo)f(x)=lim_(xto+oo)[(2/3x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$

che è vero.

FINE