A cura di: Stefano Sannella
Determinare il punto $Q$ simmetrico di $P(-5;13)$ rispetto alla retta $r: 2x-3y-3=0$
Possiamo procedere in due modi.
1) La strategia è la seguente: calcoliamo l’equazione della retta perpendicolare a $r$ e passante per $P$
Il punto simmetrico che si cerca deve per forza appartenere a tale retta, e deve avere distanza da essa uguale a quella del punto $P$ (la simmetria lo impone).
Procediamo trovando l’equazione della retta parpendicolare a $r$ e passante per $P$
Il suo coefficiente angolare vale $-3/2$, e la retta (che chiamiamo $t$) passa per $P(5,13)$, quindi la sua equazione è
$y-13=m(x+5)$
da cui
$y=-(3/2)x+11/2$.
Ora il punto simmetrico $Q$ deve appartenere alla retta $y=-(3/2)x+11/2$ e deve avere la distanza dalla retta $2x-3y-3=0$ pari alla distanza di $P=(-5,13)$ dalla stessa retta $2x-3y-3=0$.
La distanza di $P=(-5,13)$ dalla retta $2x-3y-3=0$ è
$d=(|-10-39-3|)/sqrt(2^2+3^2)=52/sqrt(13)=4sqrt(13)$
Il punto $Q$ ha generiche coordinate $Q=(x,-(3/2)x+11/2)$ dovendo appartenere alla retta
$y=-(3/2)x+11/2$ e la sua distanza dalla retta $2x-3y-3=0$ è
$d1=|2x-3(-3/2x+11/2)-3|/sqrt(13)=13|x-3|/(2sqrt(13))$
Ora basta risolvere l’equazione $d=d1$ che assicura la simmetria, cioè
$13|x-3|/(2sqrt(13))=4sqrt(13)$ che restituisce
$|x-3|=8$
Ora se $x>3$ allora l’equazione diviene
$x-3=8$ che ha soluzione $x=11$ ed è accettabile perciò abbaimo trovato un punto richiesto $Q=(11,-11)$
Se $x<3$ l’equazione ha soluzione $x=-5$ anch’esso accettabile ed il punto trovato è $(-5,13)$ che non è altro che il punto $P$ di partenza (risultato prevedibile, infatti l’equazione ha restituito entrambi i punti che hanno quella distanza da $r$ e appartengono a $t$, e questi sono solo 2)
In conclusione il punto cercato è $Q=(11,-11)$
Proviamo che il punto $Q=(11,-11)$ calcolato è corretto.
Calcoliamo il punto di intersezione tra le due rette $2x-3y-3=0$ ed $y=-(3/2)x+11/2$. Il punto di intersezione ha coordinate $C=(3,1)$. Ma tale punto di intersezione deve essere il punto medio del segmento $bar{PQ}$ vista la simmetria.
Tale punto medio ha coordinate $M=((x_P+x_Q)/2,(y_P+y_Q)/2)=((11-5)/2,(13-11)/2)=(3,1)=C$ come volevamo dimostrare e questo ci assicura che il punto $Q=(11,-11)$ è quello che cercavamo
Proponiamo la seconda soluzione
2)
Utilizziamo alcuni risultati della soluzione precedente.
La perpendicolare per P alla retta data e’:
$y=-(3/2)x+11/2$ ed essa interseca la retta data nel punto $C(3,1)$ (facilmente verificabile mettendo a sistema del due rette)
Ora e’ sufficiente scrivere che $C$ e’ il punto medio tra $P$ ed il simmetrico
che indico con $Q(x,y)$ e cioe’:
${((-5+x)/2=3),((13+y)/2=1):}$
da cui si ricava che:
$x=11,y=-11$ che sono le richieste coordinate del simmetrico.
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