Discontinuità: $lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)$

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 2} 

Si calcoli

$lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)$

---

Vediamo che innanzitutto, procedendo per sostituzione

$lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)=0/0$

si ottiene una forma indeterminata.

 

Vediamo che è presente un valore assoluto con argomento $x-1$

Discutiamolo, supponenedo prima che $x$ tenda a $1$ da sinistra, ovvero $x->1^-$

Si ha a questo punto

$x-1<0$, quindi $|x-1|=-x+1$.

In questo caso: $lim_(x to 1^-)(x^2-x+1-1)/(x-1)=lim_(x to 1^-)(x(x-1))/(x-1)=lim_(x to 1^-)x=1$.

I calcoli sono abbastanza semplici.

 

Ora immaginiamo che $x$ tenda a $1$ da destra, quindi $x->1^+$

quindi si ha che

$x-1>0$

e $|x-1|=x-1$

Procediamo:

$lim_(x to 1^+)(x^2+x-1-1)/(x-1)=lim_(x to 1^+)(x^2+x-2)/(x-1)$.

Scomponendo in fattori il numeratore, ottieniamo:

$lim_(x to 1^+)(x^2+x-2)/(x-1)=lim_(x to 1^+)((x-1)(x+2))/(x-1)=lim_(x to 1^+)x+2=3$.

 

Dato che i limiti "da sinistra" e "da destra" sono diversi, il limite per $x->1$ non esiste.

 

Possiamo dire che la funzione è discontinua in $1$, e la discontinuita è del tipo "con salto", prima specie.

 

FINE