Divisibilità 

Consideriamo la successione di numeri naturali:

$$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,dots$$

e moltiplichiamo ciascun elemento di questo insieme per un generico numero naturale, ad esempio $4$: otteniamo una nuova successione di prodotti ciascuno dei quali si dice multiplo di $4$.

• $0cdot 4=0$
• $1cdot 4=4$
• $2cdot 4=8$
• $3cdot 4=12$
• $4cdot 4=16$
• $5cdot 4=20$
• $6cdot 4=24$
• $dots$

I multipli di un numero sono costituiti dall'insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali.

Osservazione:

• Lo zero è multiplo di qualunque altro numero; per convezione però si è stabilito di ometterlo dalla scrittura dei multipli di un numero
• essendo la successione dei numeri naturali infinita, ne consegue che anche i multipli di un numero sono infiniti
• i multipli di $2$ costituiscono l'insieme dei numeri pari, tutti gli altri numeri costituiscono l'insieme dei numeri dispari. Lo zero appartiene all'insieme dei numeri pari

Sappiamo che nell'eseguire una divisione tra due numeri naturali non sempre il resto della divisione è uguale a zero. Ad esempio: $$18:3=6 mbox{con resto uguale a $0$}$$ $$18:4=4 mbox{con resto uguale a $2$}$$

Se un numero diviso per un altro numero dà resto zero diremo che il secondo numero è un divisore del primo e che il primo numero è divisibile per il secondo.

I criteri di divisibilità

In questo paragrafo studieremo i criteri di divisibiità, ovvero alcune regole che permettono di stabilire velocemente se un numero è divisibile per un altro numero senza dover eseguire la divisione.

Divisibilità per $2$

Consideriamo alcuni multipli di $2$:

$$2, 4, 6,dots ,10,dots, 20, 22,dots, 26,dots$$

Abbiamo già detto che essi sono tutti i numeri pari. Ne deduciamo:

Un numero è divisibile per $2$ se la cifra delle unità è pari.

Ad esempio:

• $28$ è divisibile per $2$ perchè la sua ultima cifra $8$ è pari;
• $80$ è divisibile per $2$ perchè la sua ultima cifra $0$ è pari;
• $29$ non è divisibile per $2$ perchè la sua ultima cifra $9$ non è pari.

Divisibilità per $5$

Consideriamo alcuni multipli di $5$:

$$5, 10, 15,dots ,35,dots, 50,dots, 65,dots, 70,dots$$

Notiamo che essi hanno come cifra delle unità il numero $0$ o $5$. Ne deduciamo:

Un numero è divisibile per $5$ se termina con zero o con cinque.

Ad esempio:

• $90$ è divisibile per $5$ perchè termina con $0$;
• $65$ è divisibile per $5$ perchè termina con $5$;
• $66$ non è divisibile per $5$ perchè non termina né con zero né con cinque.

Divisibilità per $3$ e per $9$

Consideriamo alcuni multipli di $2$:

$$3, 6, 9,dots ,21, 24,dots, 36,dots, 72,dots$$

Notiamo che la somma delle loro cifre è sempre un multiplo di $3$.

Consideriamo alcuni multipli di $9$:

$$9, 18, 27, 36dots, 351,dots$$

Notiamo che la somma delle loro cifre è sempre un multiplo di $9$. Ne deduciamo:

Un numero è divisibile per $3$ (o per $9$) se la somma delle sue cifre è un multiplo di $3$ (o di $9$).

Ad esempio:

• $18$ è divisibile per $3$ (e per $9$) perchè la somma delle sue cifre, $1+8=9$, è un multiplo di $3$ (e di $9$);
• $51$ è divisibile per $3$ perchè la somma delle sue cifre, $1+5=6$ è un multiplo di $3$; non è divisibile per $9$ perchè $6$ non è un multiplo di $9$;
• $19$ non è divisibile per $3$ (e quindi non è divisibile neanche per $9$) perchè la somma delle su cifre $1+9=10$, non è un multiplo di $3$.

Divisibilità per $11$

Consideriamo alcuni multipli di $2$:

$$11, 22, 33,dots ,121,dots, 165,dots, 1397,dots, 92939,dots$$

e scegliamo tra di essi, ad esempio, i numeri $1397$, $92939$.

Attribuiamo, per ogni numero, il posto dispari (che indicheremo con D) alla prima cifra a sinistra e il posto pari (che indicheremo con P) a quella successiva e così via, fino all'ultima cifra a destra:

$$mathop 1limits^Dmathop 3limits^Pmathop 9limits^Dmathop 7limits^Pquadquadmathop 9limits^Dmathop 2limits^Pmathop 9limits^Dmathop 3limits^Pmathop 9limits^D$$

Calcoliamo ora la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma di quelle di posto pari:

$mathop 1limits^Dmathop 3limits^Pmathop 9limits^Dmathop 7limits^Pquad left{begin{array}{l} mbox{somma delle cifre di posto dispari: $1+9=10$}\ mbox{somma delle cifre di posto pari: $3+7=10$}end{array}right}quad 10-10=0$

$mathop 9limits^Dmathop 2limits^Pmathop 9limits^Dmathop 3limits^Pmathop 9limits^Dquad left{begin{array}{l} mbox{somma delle cifre di posto dispari: $9+9+9=27$}\ mbox{somma delle cifre di posto pari: $2+3=5$}end{array}right}quad 27-5=22$

Osserviamo che le differenze sono $0$ e $22$ (entrambi multipli di $11$). Ne deduciamo:

Un numero è divisibile per $11$ se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella di posto pari (o viceversa) è $0$ o un multiplo di $11$.

Ad esempio:

• $209$ è divisibile per $11$ perchè $(2+9)-0=11$;
• $309$ non è divisibile per $11$ perchè $(3+9)-0=12$;
• $1727$ è divisibile per $11$ perchè $(7+7)-(1+2)=14-3=11$.

Divisibilità per $10, 100, 1000$

Consideriamo alcuni multipli di $10$, di $100$ e di $1000$:

$$10, 20, 30, 40, 50,dots $$ $$100, 200, 300, 400, 500,dots $$ $$1000, 2000, 3000, 4000, 5000,dots $$

Notiamo che tutti i multipli di $10$ hanno come cifra delle unità uno zero, i multipli di $100$ terminano sempre con due zeri e i multipli di $1000$ terminano sempre con tre zeri. Ne deduciamo:

Un numero è divisibile per $10, 100, 1000,dots$ se rispettivamente con uno, due, tre,$dots$ zeri.

Ad esempio:

• $700$ è divisibile per $100$ perchè termina con due zeri e per $10$ perchè l'ultima cifra è uno zero;
• $15$ non è divisibile per $10$ perchè non termina con uno zero.

Divisibilità per $4$ e $25$

Consideriamo alcuni multipli di $4$ e alcuni multipli di $25$:

$$4, 8, 12, 24,dots ,40,dots, 100,dots, 108,dots$$ $$25, 50, 75, 100,dots ,175, 200,dots, 250,dots$$

Notiamo che le ultime due cifre di ogni numero formano un numero multiplo di $4$ o di $25$, oppure sono due zeri. Ne deduciamo:

Un numero è divisibile per $4$ o per $25$ se le utlime due cifre formano un numero multiplo di $4$ o di $25$, oppure sono due zeri.

Ad esempio:

• $128$ è divisibile per $4$ perchè le ultime due cifre ($28$) sono divisibili per $4$;
• $110$ non è divisibile per $4$ perchè le ultime due cifre ($10$) non sono divisibili per $4$;
• $475$ è divisibile per $25$ perchè le ultime due cifre ($75$) sono divisibili per $25$;
• $180$ non è divisibile per $25$ perchè le ultime due cifre ($80$) non sono divisibili per $25$.

Svolgi i seguenti esercizi:

• 1) Stabilisci, applicando i relativi criteri di divisibilità, quali dei seguenti numeri sono divisibili sia per $2$ che per $3$:
• $$52;quad 10;quad 18;quad 24;quad 36;quad 38 ;quad 42;quad 58;quad 1242.$$
• 2) Stabilisci, applicando i relativi criteri di divisibilità, quali dei seguenti numeri sono divisibili per $3$ e quali quelli divisibili per $9$. Quelli divisibili per $3$ sono tutti divisibili anche per $9$?
• $$231;quad 207;quad 333;quad 1350;quad 2426;quad 1431 ;quad 2823.$$
• 3) Stabilisci per quali numeri è divisibile il numero $8052$