Dominio di $f(x)=log_(1/3)(ln(ln^2x-sqrt(5)lnx))$

A cura di: Stefano Sannella

Si trovi il dominio della seguente funzione

$f(x)=log_(1/3)(ln(ln^2x-sqrt(5)lnx))$

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Questa è un’applicazione dei sistemi di disequazioni. Per trovare il dominio della funzione dobbiamo infatti risolvere un sistema di qualche disequazione.

E’ fondamentale ricordare che la funzione logaritmo è definita se l’argomento è strettamente positivo.

${(x>0),(ln^2x-sqrt(5)lnx>0),(ln(ln^2x-sqrt(5)lnx)>0):}$

Consideriamo la seconda disequazione

$ln^2x-sqrt(5)lnx>0$ diventa

$lnx(lnx-sqrt(5))>0$

Prendiamo i valori esterni alle radici, e otteniamo

$lnx<0$   $U$   $lnx>sqrt(5)$

Togliendo i logaritmi

$0<x<1$  $U$  $x>e^(sqrt(5))$

Poi trattiamo la terza disequazione

$ln(ln^2x-sqrt(5)lnx)>0$

Affinchè un logaritmo sia maggiore di zero, il suo argomento deve essere maggiore di $1$. in questo caso l’argomento è

$ln^2x-sqrt(5)lnx>1$

$ln^2x-sqrt(5)lnx-1>0$

Risolvendo l’equazione associata rispetto a $lnx$ e prendendo i valori esterni, si giunge a

$lnx>(3+sqrt(5))/2$  $U$   $lnx<(sqrt(5)-3)/2$

e togliendo i logaritmi

$x>e^((3+sqrt(5))/2)$  $U$  $0<x<e^((sqrt(5)-3)/2)$

Intersecando le soluzioni ottenute da ciascuna disequazione, ottieniamo:

Dominio: $0<x<e^((sqrt(5)-3)/2)$ U $x>e^((3+sqrt(5))/2)$