Una volta che abbiamo capito cosa sono le espressioni algebriche possiamo passare alle equazioni di primo grado. Infatti, si tratta di un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado vera solo per alcuni valori che si attribuiscono all'incognita. Se preferisci guardare la spiegazione vai alla nostra videolezione.
Esempio di equazione di primo grado (1):
L'uguaglianza $$ 3x+1=2x+6 $$ è un'equazione di primo grado nell'incognita $x$. $3x+1$ è detto primo membro dell'equazione, mentre $2x+6$ è chiamato secondo membro dell'equazione.
Ogni numero che, sostituito all'incognita, fa in modo che il primo membro abbia lo stesso valore del secondo membro, viene chiamato soluzione dell'equazione.
Risolvere un'equazione di primo grado significa trovare la soluzione, ovvero, come appena detto, trovare quel numero che sostituito al posto dell'incognita, rende vera l'uguaglianza tra i due membri. In altre parole potremmo dire che la soluzione dell'equazione è quel valore che soddisfa l'equazione.
Esempio di equazione di primo grado (2):
Se sostituiamo il valore $2$ al posto dell'incognita $x$ nell'equazione precendete otteniamo: $$ 3cdot 2+1=2cdot 2+6 $$ risolvendo otteniamo: $$ 7=10 $$ che non è un'uguaglianza. Questo vuol dire che $2$ non è la soluzione dell'equazione iniziale.
Se invece, facessimo lo stesso procedimento con il numero $5$ otterremmo: $$ 3cdot 5+1=2cdot 5+6Rightarrow 16=16 $$ che è un'uguaglianza. Questo significa che $5$ è la soluzione dell'equazione iniziale.
Si possono verificare tre casi distinti:
1) Equazione di primo grado impossibile
Ciò si verifica quando nessun numero sostituito al posto dell'incognita, soddisfa l'equazione.
Esempio di equazione di primo grado impossibile:
L'equazione $3x+1=5x-2x-8$ non ha soluzioni
2) Equazione di primo grado determinata
In questo caso, l'equazione ha un'unica soluzione, ciò si verifica quando un solo numero sostituito al posto dell'incognita, soddisfa l'equazione.
Esempio di equazione di primo grado determinata:
L'equazione $2x+1=5x-8$ ha una sola soluzione che è $3$.
3) Equazione di primo grado indeterminata (o identità)
L'equazione di primo grado ha infinite soluzioni, ciò si verifica quando qualsiasi numero sostituito al posto dell'incognita, soddisfa l'equazione.
Esempio di equazione di primo grado indeterminata:
L'equazione $3x+1=5x-2x-8+9$ ha infinite soluzioni.
Le equazioni di primo grado si suddividono in $3$ categorie principali
1) Equazione di primo grado INTERA: si dice intera quando l'incognita compare solo al numeratore: ad esempio $3x+1=2x-7$.
2) Equazione di primo grado FRATTA: si dice fratta quando l'incognita compare al denominatore in almeno uno dei due membri: ad esempio $frac{3}{x}+1=2x-7$.
3) Equazione di primo grado LETTERALE: si dice letterale quando, oltre all'incognita, compaiono altre lettere che rappresentano dei numeri ben precisi: ad esempio $2xa-3=3xb+4$.
Principi di equivalenza delle equazioni di primo grado
Elenchiamo, adesso, le regole che ci serviranno per svolgere le equazioni di primo grado. Tali regole sono note con il nome di principi di equivalenza:
1) Primo principio di equivalenza delle equazioni di primo grado
Sommando o sottraendo ambo i membri per uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, l'equazione ottenuta è equivalente a quella data.
Esempio del primo principio di equivalenza:
Data l'equazione $$ 4x-2=6 $$ che ha soluzione $x=2$, se si addiziona entrambi i membri il numero $4$, si ottiene l'equazione: $$ 4x-2+4=6+4 $$ che ha ancora soluzione $x=2$, quindi è equivalente a quella data.
Consideriamo ora la stessa equazione $4x-2=6$, ma questa volta addizionando ambo i membri per l'espressione algebrica $x-1$. In questo modo otteniamo: $$ 4x-2+x-1=6+x-1 $$ che ha ancora soluzione $x=2$, e quindi è equivalente a quella data.
Il 1° principio di equivalenza è scomodo da usare per risolvere un'equazione. Per questo motivo, negli esercizi, si usa la regola del trasporto: posso trasportare un termine da una parte all'altra dell'uguale purchè si cambia di segno
Esempio regola del trasporto
Consideriamo l'equazione $$ 3x+1=2x+6 $$ notiamo che l'incognita x compare in entrambi i membri e che il numero 1 dovrebbe essere spostato a secondo membro. Applicando la regola del trasporto otteniamo: $$ 3x-2x=6-1 $$ A questo punto sommiamo i termini simili a primo e a secondo membro e abbiamo: $$ x=5 $$ che è la soluzione della nostra equazione.
2) Secondo principio di equivalenza delle equazioni di primo grado
Moltiplicando o dividendo ambo i membri per uno stesso numero diverso da $0$ o una stessa espressione algebrica, l'equazione ottenuta è equivalente a quella data.
Esempio del secondo principio di equivalenza
Data l'equazione $$ 3x=6 $$ che ha soluzione $x=2$, se dividiamo ambo i membri per $3$, si ottiene: $$ frac{3x}{3}=frac{6}{3} $$ che semplificata risulta: $$ x=2 $$ che è la soluzione della mia equazione.
Come si risolvono le equazioni di primo grado
Vediamo come si risolvono le equazioni di primo grado utilizzando i due principi appena enunciati.
Trovare la soluzione delle seguenti equazioni:
- 1) $$ 3x+2=1; $$
- 2) $$ frac{2}{3}x+1=3x-2; $$
- 3) $$ 2-frac{3}{5}x=frac{5}{7}+frac{1}{2}x; $$
Risolviamo la 1):
Portiamo tutti i numeri a secondo membro e tutti i termini con la x a primo membro. In questo caso bisogna trasportare il 2 dal primo membro a secondo membro: $$ 3x=1-2. $$ Sommando i termini simili ottengo: $$ 3x=-1 $$ Adesso, per trovare la soluzione devo far in modo di far scomparire il $3$ che moltiplica la $x$: divido ambo i membri per 3: $$ frac{3x}{3}=-frac{1}{3} $$ da cui $$ x=-frac{1}{3}. $$
Risolviamo la 2):
Come prima, portiamo i termini con la $x$ a primo membro e i numeri a secondo membro: $$ frac{2}{3}x-3x=-2-1 $$ Sommando i termini simili: $$ frac{2-9}{3}x=-3 $$ ovvero $$ -frac{7}{3}x=-3 $$ Per trovare la soluzione devo far in modo che il coefficiente della x, $-frac{7}{3}$ sparisca. Se moltiplico ambo i membri per $-frac{3}{7}$, avrò il risultato atteso: $$ -frac{3}{7}bigg(-frac{7}{3}xbigg)=-3bigg(-frac{3}{7}bigg) $$ Semplificando ottengo: $$ x=frac{9}{7} $$
Risolviamo la 3):
Al solito, portiamo i termini con la x a primo membro e i numeri a secondo membro: $$ -frac{3}{5}x-frac{1}{2}x=frac{5}{7}-2 $$ Sommiamo i termini simili: $$ -frac{6+5}{10}x=frac{5-14}{7} $$ cioè $$ -frac{11}{10}x=-frac{9}{7} $$ A questo punto è intuitivo moltiplicare per $-frac{10}{11}$: $$ -frac{10}{11}bigg(-frac{11}{10}xbigg)=-frac{9}{7}bigg(-frac{10}{11}bigg) $$ da cui ottengo: $$ x=frac{90}{77} $$
Esercizi sulle equazioni di primo grado
Risolvere le seguenti equazioni di primo grado:
- 1) 3x+2=1;
- 2) frac{2}{3}x+1=3x-2;
- 3) 2-frac{3}{5}x=frac{5}{7}+fra{1}{2}x;
- $3x+1=4x-2$
- $frac{x}{2}-4x+1=3$
- $frac{4}{x}-2=frac{7}{2}x-1$
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