A cura di: Stefano Sannella
E’ dato il fascio di rette di equazione
$(k+2)x+(3-k)y+k+1=0$
Determinare:
1)La natura del fascio
2) I valore del parametro della retta che intersecando gli assi forma un triangolo di superficie 1.
1)
Vediamo se il fascio è proprio, osservando il coefficiente angolare
$-a/b=-(k+2)/(3-k)=(k+2)/(k-3)$ Il fascio è proprio in quanto al variare di k varia il coefficiente angolare.
Per trovare le rette generatrici svolgiamo le parentesi e raccogliamo k
$kx+2x+3y-ky+k+1=0$
$2x+3y+1+k(x-y+1)=0$
Quindi
$2x+3y+1=0$ se $k=0$
$x-y+1=0->k=oo$ (retta critica)
Intersecando le rette generatrici, otteniamo il centro del fascio.
Si può procedere anche ponendo $k$ i modo tale che il fascio "perda" un termine tra $x$ e $y$, ad esempio avendo
$(k+2)x+(3-k)y+k+1=0$
poniamo $k=3$ ottenendo
$(3+2)x++0+3+1=0$ e questa retta è quella verticolare del fascio.
Ponendo poi $k=-2$ si ottiene quella orizzontale, e possiamo intersecare le due per trovare il centro.
2)
Chiamiamo A il punto di intersezione con l’asse x e B quello con l’asse y. O è l’origine.
Il triangolo $stackrel(Delta)(AOB)$ è rettangolo, pertanto l’area è espressa come semipordotto dei cateti, che sono $bar{AO}$ e $bar{BO}$
$(AO*BO)/2=1/2$ (1)
Troviamo ora il modo di esprimere i due lati.
Intersecando il fascio con l’asse x, troviamo l’ascissa del punto A, che dipenderà da k
${( (k+2) x + (3-k) y + k + 1 = 0), ( y = 0) :}$
ottenendo
$x=-(k+1)/(k+2)=AO$
Facendo altrettanto con l’asse x, ottengo
${((k+2)x+(3-k)y+k+1=0),(x=0):}$
$y=-(k+1)/(3-k)=BO$
Quindi, ricordando l’equazione (1) avremo
$(-(k+1)/(k+2))*(-(k+1)/(3-k))=2$
semplice equazione che restituisce due valori
$k=sqrt(11/3)$ e $k=-sqrt(11/3)$
FINE
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