$frac{sin2a-sin2b}{cos2a-cos2b}=-cot(a+b)$

A cura di: Stefano Sannella

Si mostri la seguente identità goniometrica
$frac{sin2a-sin2b}{cos2a-cos2b}=-cot(a+b)$

Applicando la formula di prostaferesi al numeratore e al denominatore, otteniamo
$frac{sin2a-sin2b}{cos2a-cos2b}=frac{2cos frac{2a+2b}{2}sin frac{2a-2b}{2}}{-2sin frac{2a+2b}{2}sin frac{2a-2b}{2}}$
Ma d’altra parte
$frac{2a+2b}{2}=a+b$
$frac{2a-2b}{2}=a-b$
pertanto possiamo dire che otteniamo, semplificando il $2$
$- frac{cos(a+b)sin(a-b)}{sin(a+b)sin(a-b)}$
Semplificando ancora
$-frac{cos(a+b)}{sin(a+b)}$
ovvero, ricordando che
$cottheta=frac{sintheta}{costheta}
si ha
$-cotg(a+b)$

Si è mostrato dunque che il primo membro è equivalente al secondo.

FINE