$f(x) = e^x \root{3}{x^2}$

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il grafico della seguente funzione reale di variabile reale

$f(x) = e^x root{3}{x^2}$

Il dominio massimale della funzione è $mathbb{R}$, dato che un esponenziale è definito laddove è definito l’esponente, e una radice di indice dispari è definita laddove è definito il radicando. La $f$ è data dalla composizione di funzioni continue, pertanto nel suo dominio è continua.

La funzione in questione non è né pari né dispari, infatti $f(-x) ne f(x)$ e $f(-x) ne -f(x)$.

$x = 0 implies f(0) = 0$

$f(x) = 0 implies x = 0$

Pertanto il grafico della funzione interseca gli assi cartesiani solo nel punto $(0,0)$. La funzione è positiva (o al più uguale a zero) per:

$f(x) ge 0 implies e^x root{3}{x^2} ge 0 implies root{3}{x^2} ge 0 implies x^2 ge 0 forall x in mathbb{R}$

Pertanto la $f$ è non negativa in tutto il suo dominio.

$lim_{x to +infty} e^x root{3}{x^2} = +infty$

$lim_{x to -infty} e^x root{3}{x^2} = lim_{x to -infty} frac{root{3}{x^2}}{e^{-x}}$

Applicando il teorema di de l’Hopital per risolvere quest’ultimo limite si ottiene

$lim_{x to -infty} frac{2}{3} frac{e^x}{root{3}{x}} = 0$

Pertanto la retta di equazione $y=0$ è un asintoto orizzontale sinistro, non si sono invece asintoti orizzontali destri. Si può quindi cercare un eventuale asintoto obliquo destro

$lim_{x to +infty} frac{e^x root{x}{x^2}}{x} = lim_{x to +infty} frac{e^x}{root{3}{x}}$

Applicando il teorema di de l’Hopital si ottiene

$lim_{x to +infty} 3 e^x root{3}{x^2} = +infty$

quindi non ci sono asintoti obliqui. La derivata vale

$f'(x) = e^x root{3}{x^2} + e^x frac{2}{3 root{3}{x}} = e^x (root{3}{x^2} + frac{2}{3 root{3}{x}})$

La derivata prima calcolata in $x=0$ vale

$lim_{h to 0} frac{f(0+h) – f(0)}{h} = lim_{h to 0} frac{e^h root{3}{h^2}}{h} = lim_{h to 0} frac{e^h}{root{3}{h}}$

Dato che

$lim_{h to 0^+} frac{e^h}{root{3}{h}} = +infty$

$lim_{h to 0^-} frac{e^h}{root{3}{h}} = -infty$

si deduce che in $x=0$ c’è una cuspide, pertanto $(0,0)$ non è un punto di derivabilità. La derivata prima si annulla per

$f'(x) = 0 implies root{3}{x^2} = -frac{2}{3 root{3}{x}} = x = -frac{2}{3}$

Dallo studio del segno della derivata prima, si nota che la funzione è crescente per $x in (-infty, -frac{2}{3}) cup (0, +infty)$, mentre è decrescente per $x in (-frac{2}{3}, 0)$. Pertanto in $x = -frac{2}{3}$ c’è un massimo relativo. La derivata seconda invece vale

$f”(x) = e^x (root{3}{x^2} + frac{2}{3 root{3}{x}}) + e^x (frac{2}{3 root{3}{x}} + frac{2}{3} (-frac{1}{3}) frac{1}{root{3}{x^4}}) = e^x (frac{9x^2 + 12x – 2}{9 root{3}{x^4}})$

La derivata seconda si annulla per

$9x^2 + 12x – 2 = 0 implies x_{1,2} = frac{-6 pm sqrt{36+18}}{9}$

da cui

$x_1 = frac{-2-sqrt{6}}{3} quad x_2 = frac{-2+sqrt{6}}{3}$

Pertanto $x_1$ e $x_2$ sono due punti di flesso a tangente obliqua. Dato che il denominatore della derivata seconda è sempre positivo, si nota che la funzione è concava per $x in (frac{-2-sqrt{6}}{3}, 0) cup (0, frac{-2+sqrt{6}}{3})$ ed è invece convessa per $x in (-infty, frac{-2-sqrt{6}}{3}) cup (frac{-2+sqrt{6}}{3}, +infty)$.

Questo è il grafico della funzione

Grafico funzione