Calcoliamo i limiti relativi agli estremi del campo di esistenza.
Analizziamo i 4 casi dei limiti:
Limite finito per x che tende ad un valore finito
Si dice che una funzione f ( x ) ha per limite il numero reale l per x che tende a x_0 , e si scrive :
lim?(x → x_0 )??f ( x )?=l
Quando comunque si scelga un numero reale positivo ε si può determinare un intorno completo I di x_0 tale che risulti
| f ( x ) – l | < ε
Per ogni x appartenente a I, diverso da x_0 .
Spesso si prende come intorno di x_0 un intorno circolare I_δ ( x_0 ) e quindi la definizione precedente si può formulare cosi:
∀ ε > 0 ? δ_ε > 0 tale che ∀ x con | x – x_0 | < δ_ε , | f ( x ) – l | < ε
Il limite finito per x che tende ad un valore infinito
x tende a + ∞
Si dice che una funzione f ( x ) tende al numero reale l per x che tende a + ∞ e si scrive:
lim?(x → + ∞)??f ( x )?=l
Quando comunque si scelga un numero reale positivo ε si può determinare un intorno I di + ∞ tale che :
| f ( x ) – l | < ε per ogni x ? I.
Considerato che un intorno di + ∞ è costituito da tutti gli x maggiori di un numero reale c, possiamo dire che lim?(x → + ∞)??f ( x )?=l se :
∀ ε > 0 ? c > 0 tale che ∀ x > c, | f ( x ) – l | < ε .
x tende a – ∞
Si dice che una funzione f ( x ) ha il limite reale l per x che tende a – ∞ e si scrive:
lim?(x → – ∞)??f ( x )?=l
Se per ogni ε > 0 fissato è possibile trovare un intorno I di – ∞ tale che risulti:
| f ( x ) – l | < ε per ogni x ? I.
Si possono riassumere i due casi precedenti in un unico caso, se si considera un intorno di ∞ determinato dagli x per i quali:
| x | > c, ossia x < – c v x > c
O anche x ? ] – ∞ ; – c [ U ] c ; + ∞ [, dove c è un numero reale positivo grande a piacere. Data questa definizione possiamo di che x tende a ∞ omettendo il segno + o – .
Si dice che ?lim??(x → ∞)??f ( x )?=l quando per ogni ε > 0 è possibile trovare un intorno I di ∞ tale che | f ( x ) – l | < ε per ogni x ? I.
Limite infinito per x che tende ad un valore finito 6
+ ∞
Sia f ( x ) una funzione non definita in x_0 .
Si dice che f ( x ) tende a + ∞ per x che tende a x_0 e si scrive:
lim?(x → x_0 )??f ( x )= + ∞?
Quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di x_0 tale che risulti:
f ( x ) > M
per ogni x appartenente a I e diverso da x_0 .
Possiamo prendere come intorni di x_0 degli intorni circolari e quindi dire che lim?(x → x_0 )??f ( x )= + ∞? se:
∀ M > 0 ? δ_M > 0 tale che ∀ x con | x – x_0 | < δ_M , f ( x ) > M.
Se lim?(x → x_0 )??f ( x )= + ∞? , si dice anche che la funzione f diverge positivamente.
Quando, nella definizione appena data, diciamo “per ogni numero reale positivo M “ intendiamo valori di M che diventano sempre più grandi. Diremo allora che M è preso grande a piacere.
Se prendiamo M più grande, I esiste ancora e risulta più piccolo. Se scegliamo un valore di M sempre più grande, si può verificare che I diventa abbastanza piccolo tale che f ( x ) superi M.
– ∞
Sia f ( x ) una funzione non definita in x_0
Si dice che f ( x ) tende a – ∞ per x che tende a x_0 e si scrive:
lim?(x → x_0 )??f ( x )= – ∞?
Quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di x_0 tale che risulti:
f ( x ) < – M
per ogni x appartenente a I e diverso da x_0.
lim?(x → x_0 )??f ( x )= – ∞? si dice che la funzione f diverge negativamente.
In generale quando scriviamo lim?(x → x_0 )??f ( x )= ∞? intendiamo dire che f diverge, ma non importa specificare se positivamente o negativamente.
La definizione di lim?(x → x_0 )??f ( x )= ∞? è :
per ogni M > 0, è possibile trovare un intorno I di x_0 tale che | f ( x ) | > M, per ogni x ? I nel dominio di f, con x ≠ x_0 .
La disequazione | f ( x ) | > M si può scrivere in modo equivalente come:
f ( x ) > M v f ( x ) < – M
e quindi le sue soluzioni sono l’unione delle soluzioni delle singole disequazioni.
Limite infinito per x tendente ad un valore infinito
Limite + ∞ di una funzione per x che tende a + ∞
Si dice che la funzione f ( x ) ha per limite + ∞ per x che tende a + ∞ e si scrive:
lim?(x → + ∞ )??f ( x )= + ∞?
Quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di + ∞ tale che risulti:
f ( x ) > M per ogni x ? I.
Limite + ∞ di una funzione per x che tende a – ∞
Si dice che la funzione f ( x ) ha per limite + ∞ per x che tende a – ∞ e si scrive:
lim?(x → – ∞ )??f ( x )= + ∞?
Quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di – ∞ tale che risulti:
f ( x ) > M per ogni x ? I.
Limite – ∞ di una funzione per x che tende a + ∞
Si dice che una funzione f ( x ) ha per limite – ∞ per x che tende a + ∞ e si scrive:
lim?(x → + ∞ )??f ( x )= – ∞?
Quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di + ∞ tale che risulti:
f ( x ) < – M per ogni x ? I.
Limite – ∞ di una funzione per x che tende a – ∞
Si dice che una funzione f ( x ) ha per limite – ∞ per x che tende a – ∞ e si scrive:
lim?(x → – ∞ )??f ( x )= – ∞?
Quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di – ∞ tale che risulti:
f ( x ) < – M per ogni x ? I.
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