A cura di: Stefano Sannella
Dimostrare che vale la seguente proprietà
$log_(ab) m=frac{log_a m * log_b m}{log_a m+log_b m}$
con $a,b,m$ tali da garantire l’esistenza del logaritmo e della frazione.
Ricordiamo innanzitutto due importanti proprietà dei logaritmi:
La prima è sicuramente nota:
$logx+logy=log(xy)$ [b](1)[/b] per qualsiasi base positiva diversa da $1$
La seconda dice che
$log_x y=1/(log_y x)$ [b](2)[/b]
ovvero: un logaritmo in base $x$ di $y$ è uguale al reciproco del logaritmo con argomento e base scambiati di posto.
Iniziamo la dimostrazione sfruttando la prima proprietà [b](1)[/b] citata inserendo i nostri valori $a,b,m$
$log_m ab=log_m a+log_m b$
Usando ora la seconda proprietà [b](2)[/b]possiamo scrivere
$1/(log_(ab) m)=1/(log_a m)+1/(log_b m)$
Sommiamo le frazioni al secondo membro
$1/(log_(ab) m)=(log_a m+log_b m)/(log_a m*log_b m)$
Ora passiamo ai reciproci (se queste due frazioni sono uguali, anche i loro reciproci devono esserlo)
$log_(ab) m=(log_a m*log_b m)/(log_a m+log_b m)$
Questa era la tesi che si richiedeva, pertanto la dimostrazione, partita da una relazione sicuramente vera (la [b](1)[/b]) è conclusa.
FINE
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