Il campo vettoriale

IL CAMPO VETTORIALE: DEFINIZIONE E FUNZIONE. Il campo vettoriale è una funzione che associa ad un punto un vettore nello stesso spazio, per esempio può essere il campo elettrico, ma procediamo prima con la definizione.
È una funzione a valori vettoriali:

F : A→Rⁿ

Dove A è necessariamente un sottoinsieme di Rⁿ, per n si intende la dimensione del dominio di definizione.
Quindi ad ogni posizione x = (x₁, x₂, …, x_n) appartenente ad A si associa un vettore di n componenti:

F(x)=(f₁ (x),f₂ (x),…,f_n (x))

Questo vuol dire che se il dominio A appartiene ad R³, allora il campo vettoriale F avrà tre componenti.

CAMPO VETTORIALE: ESEMPI. F(x,y) = (y, xy, x)  questo non è un campo vettoriale, perché le singole funzioni appartengono allo spazio R², mentre abbiamo poi un vettore con tre componenti, in sostanza

F : R²→R³

Mentre è un campo vettoriale F(x,y)=(y,xy) in quanto F:R²→R², infatti si vede chiaramente che y e xy sono definite su tutto R².

In generale però il dominio di un campo vettoriale lo si trova calcolando il dominio delle singole funzioni che lo compongono e facendone l’intersezione.
La rappresentazione di un campo può essere immaginata se pensiamo a quelli definiti per esempio in R², ma già le cose si complicano se vogliamo disegnare un campo in più dimensioni ed è difficile pensare a quale possa essere il risultato. Ad oggi comunque esistono molti software che permettono la rappresentazione grafica in modo abbastanza agevole in tutte le dimensioni di interesse.
Un campo vettoriale inoltre può essere conservativo, ovvero quando esiste una funzione scalare P (detta potenziale) tale per cui il campo F ha come componenti le derivate parziali di P. In altre parole F risulterà il gradiente di P.

Esempio: F(x,y)=(3x²+y,x+2y)

Questo è un campo conservativo, il cui potenziale è:  P=x³+xy+y²+c  . Ovviamente determinato a meno di una costante, perché ci sono infiniti potenziali.
Le applicazioni dei campi vettoriali si incontrano nei più svariati ambiti; nel caso di campi di forze come il campo elettrico e magnetico, li dove ci sono grandezze caratterizzate da intensità e direzione come spostamento velocità e accelerazione, nell’analisi li dove è richiesto lo studio di equazioni differenziali.