A cura di: Stefano Sannella
Calcolare
$int 1/(a^2-x^2) dx$
Per un conosciuto prodotto notevole, si ha
$int 1/((a+x)(a-x)) dx $
Con il principio di equivalenza fra polinomi, possiamo trovare due numeri $A,B$ tali che
$1/((a+x)(a-x)) =A/(a+x) + B/(a-x) $
da cui
$A=B=1/(2a)$
quindi
$int 1/((a+x)(a-x)) dx =1/(2a) int 1/(a+x) dx + 1/(2a) int 1/(a-x) dx$
Ora, risulta
$int 1/(a-x) dx=-1*int -1/(a-x) dx=-1*int 1/t dt=-lnt=-ln|a-x|+k$
e
$int 1/(a+x) dx=ln|a+x|+k$
Quindi il risultato, considerando che $ln(b/c)=lnb-lnc quadquad b,c>0$ è
$1/(2a) log|(a+x)/(a-x)|+C$
FINE
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