$int 1/(x^2 -x +1)^2 dx$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli
$int 1/(x^2 -x +1)^2 dx$

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Partiamo dalla seguente identità, ricavabile con qualche accorgimento algebrico.
$(x^2-x+1)=(x-1/2)^2+3/4=3/4*(4/3(x-1/2)^2+1)=3/4*(((2x-1)/(sqrt3))^2+1)$ per cui
$(x^2-x+1)^2=9/16*(((2x-1)/(sqrt3))^2+1)^2$

Ora eseguiamo la sostituzione $ (2x-1)/(sqrt3)=tant->dx=sqrt3/2*1/(cos^2t)dt$
per cui
$int 1/(x^2 -x +1)^2 dx=(8sqrt3)/9*intcos^2tdt=(8sqrt3)/9*(t/2+(sin2t)/4)=(4sqrt3)/9*t+(2sqrt3)/9*sin2t+K,t=arctgan((2x-1)/(sqrt3))$
Ora
$(2sqrt3)/9sin2t=(2sqrt3)/9*2sintcost=(4sqrt3)/9(tant)/(1+tan^2t)=(4sqrt3)/9*((2x-1)/(sqrt3))/(1+((2x-1)/(sqrt3))^2)=(2x-1)/(3(x^2-x+1))$
da cui giungiamo a
$int 1/(x^2 -x +1)^2dx=(4sqrt3)/9*arctan((2x-1)/(sqrt3))+(2x-1)/(3(x^2-x+1))+K$

FINE