$int ln(x^2-2x +2) dx$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli
$int ln(x^2-2x +2) dx$

Procediamo per parti. L’integrale iniziale risulta essere quindi uguale a
$int ln(x^2-2x +2) dx=xln(x^2-2x+2)-int(x*(2x-2))/(x^2-2x+2)dx$
Proseguiamo svolgendo la moltiplicazione
$xln(x^2-2x+2)-int(2x^2-2x)/(x^2-2x+2)dx=xln(x^2-2x+2)-int(2+(2x-2)/(x^2-2x+2)-2/(x^2-2x+2))dx$
Nell’ultimo passaggio si è riscritto il numeratore $2x^2-2x$ in una forma più conveniente, ovvero
$(2x^2-4x+4)+(2x-2)-2$
dopodichè abbiamo "spezzato" la frazione.

Ripartendo da dove si era rimasti, abbiamo
$xln(x^2-2x+2)-int2 dx-int(2x-2)/(x^2-2x+2)dx+int2/((x-1)^2+1)dx$
Nel terzo integrale abbiamo agito così: $x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1$
Inoltre l’argomento del modulo è sempre positivo, da cui l’inutilità del valore assoluto.

Ma questi tre integrali sono piuttosto immediati, infatti abbiamo
$xln(x^2-2x+2)-2x-ln(x^2-2x+2)+2arctan(x-1)$
Ricordiamo infatti (per il secondo integrale) che $2x-2$ è la derivata prima di $x^2-2x+2$

Raccogliendo $ln(x^2-2x+2)$ si ha
$(x-1)ln(x^2-2x+2)-2x+2arctan(x-1)+K$

FINE