$int(1/sqrt(x^2+a^2))$

A cura di: Francesco Speciale

Svolgimento:
Poniamo $sqrt(a^2+x^2)=x+t$;da qui elevando ambo i membri al quadrato
si ricava
(1) $x=(a^2-t^2)/(2t)$
ed anche $sqrt(a^2+x^2)=x+t=(a^2+t^2)/(2t)$
Differenziando la (1) si ha:
$dx=-(a^2+t^2)/(2t^2)dt$
Sostituendo il tutto nell’integrale, risulta
$int(1/sqrt(a^2+x^2))=int((2t)/(a^2+t^2))(-(a^2+t^2)/(2t^2))$
ovvero
$int(1/sqrt(a^2+x^2))=-int(1/t)=ln(|1/t|)+C$
ma $t=sqrt(a^2+x^2)-x => 1/t=((sqrt(a^2+x^2)+x))/a^2)$.
Concludendo:
$int(1/sqrt(a^2+x^2))=ln(|(sqrt(a^2+x^2)+x|/(a^2))+C$.