$int_(-2)^2$$(x+3)*sqrt(4-x^2)*dx$

A cura di: Stefano Sannella

Calcolare
$int_(-2)^2$$(x+3)*sqrt(4-x^2)*dx$
scrivendolo come somma di 2 integrali e interpretandone uno in termini di area.

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Intanto svolgiamo la moltiplicazione
$(x+3)*sqrt(4-x^2)$ che restituisce $xsqrt(4-x^2)+3sqrt(4-x^2)$
Perciò l’integrale diventa
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=int_{-2}^{2}xsqrt(4-x^2)dx+int_{-2}^{2}3*sqrt(4-x^2)dx$

Ora notiamo che
$int_{-2}^{2}xsqrt(4-x^2)dx=0$
perchè è l’integrale di una funzione dispari in un intervallo simmetrico rispetto all’origine.
Oppure, svolgendo direttamente l’integrale
$int_{-2}^{2}xsqrt(4-x^2)dx=[-1/3*(4-x^2)^(3/2)]_{-2}^{2}=0$ 

Per cui l’integrale iniziale si riduce a
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=3int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=3*A$
dove si può facilmente vedere che $A$ è l’area del semicerchio di raggio $r=2$ che si trova nel semipiano $y>0$

Ora l’area del semicerchio è metà dell’area del cerchio per cui $A=(pi*r^2)/2=pi*4/2=2pi$ per cui
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=3int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=3*A=6pi$

Allo stesso risultato si giunge svolgendo l’integrale, infatti
$A=int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=[x/2sqrt(4-x^2)+2Arcsin(x/2)]_{-2}^{2}=(2Arcsin(1)-2Arcsin(-1))=(2*pi/2-2*(-pi/2))=2pi$ per cui
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=3int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=3*A=3*2pi=6pi$

FINE