$int_(pi)^inftycosx/[(x-pi)^2+3]^2dx$

A cura di: Stefano Sannella

$int_(pi)^inftycosx/[(x-pi)^2+3]^2dx$

1)

Effettuiamo la sostituzione

$t=x-pi$ per cui
$int_(pi)^inftycosx/[(x-pi)^2+3]^2dx=int_{0}^{+infty}(cos(pi+t))/(t^2+3)^2dt=-int_{0}^{+infty}(cost)/(t^2+3)^2dt=-1/2*int_{-infty}^{+infty}(cost)/(t^2+3)^2dt$=
$-1/2*int_{-infty}^{+infty}(Re(e^(i*t)))/(t^2+3)^2dt=-1/2*Re(int_{-infty}^{+infty}(e^(i*t))/(t^2+3)^2dt)$ dove $Re()$ identifica la parte reale.
Ora risolviamo con i residui l’integrale $int_{-infty}^{+infty}(e^(i*t))/(t^2+3)^2dt$: l’unico polo nel semipiano $Im(t)>0$ è $t=i*sqrt3$ per cui
$int_{-infty}^{+infty}(e^(i*t))/(t^2+3)^2dt=2pi*i*Res(i*sqrt3)$ e con $Res$ si identifica il residuo
Ora $Res(i*sqrt3)=d/(dt)(e^(i*t)/(t+i*sqrt3)^2)_(t=i*sqrt3)=(e^(i*t)*(-2-sqrt3+i*t)/(t+i*sqrt3)^3)_(t=i*sqrt3)$=
$-i/36*e^(-sqrt3)*(3+sqrt3)$ da cui
$int_{-infty}^{+infty}(e^(i*t))/(t^2+3)^2dt=2pi*i*Res(i*sqrt3)=2pi*i*-i/36*e^(-sqrt3)*(3+sqrt3)=pi/18*(3+sqrt3)*e^(-sqrt3)$ che è già reale, per cui
$int_(pi)^inftycosx/[(x-pi)^2+3]^2dx=-1/2*pi/18*(3+sqrt3)*e^(-sqrt3)=-pi/36*(3+sqrt3)*e^(-sqrt3)$