Integrale definito: come calcolarlo

INTEGRALE DEFINITO: COME CALCOLARLO. Ecco un appunto con spiegazione dettagliata su come calcolare l’integrale definito. Prima di passare al calcolo è utile capire cos’è l’integrale definito.

Data una funzione f(x), l’integrale definito in un intervallo [a,b], rappresenta l’area sottesa dalla funzione stessa, l’asse delle x e le rette di equazione x=a e x=b.

 

Infatti questo strumento matematico nasce dall’esigenza di calcolare le aree di superfici di figure non note ed è stato definito da Riemann, infatti si chiama anche integrale definito secondo Riemann. Volendo dare una definizione più rigorosa, l’integrale approssima per eccesso o difetto l’area definita dalla funzione con infinite funzioni a gradino, costruite al di sopra o al di sotto della curva. Quando la miglior approssimazione per eccesso coincide con la miglior approssimazione per difetto, quello sarà il valore dell’integrale definito, ovvero dell’area sottesa dal grafico.
INTEGRALE DEFINITO: TEOREMA DEL CALCOLO INTEGRALE. Le approssimazioni però noi non le consideriamo quando calcoliamo l’integrale, ma sfruttiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale, che ci permette di trovare il valore dell’are così:

1. Calcoliamo prima l’integrale indefinito di f(x), ovvero troviamo quella primitiva F(x) tale che F’(x)=f(x);

2. Calcoliamo F(a) e F(b)

3. Sfruttiamo il teorema
CALCOLO INTEGRALE DEFINITO: ESEMPIO. Vediamo un esempio: Calcola l’area delimitata dalla curva di equazione  y = -x2 + 9  e dai semiassi positivi di x e y.

La prima cosa da fare è definire gli estremi di integrazione, lo si fa andando a capire com’è fatta la funzione. Dal disegno si può capire che è una parabola con intersezioni sull’asse x in -3 e 3, considerando che dobbiamo calcolare l’area nei semiassi positivi gli estremi di integrazione saranno 0 e 3.

Tramite il teorema fondamentale del calcolo integrale, abbiamo che l’integrale definito tra 0 e 1 della funzione vale:

E se volessimo l’area completa sottesa dalla funzione?

Da regola dovremmo calcolare l’integrale da -3 a 3. Come si può facilmente calcolare questo integrale è nullo, ma ovviamente non sarà nulla l’area. Difatti questa è una funzione pari [ovvero simmetrica rispetto l’asse y → f(x)=f(-x)] il cui integrale definito tra -3 e 3 sarà:

Questa è una delle proprietà delle funzioni pari applicata all’integrale.