$intlogx/(xsqrt(4+3log^(2)x))dx$

A cura di: Stefano Sannella

Calcolare il seguente integrale
$intlogx/(xsqrt(4+3log^(2)x))dx$

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Procediamo per sostituzione.
Poniamo
$logx=t$ da cui discende ovviamente $x=e^t$
Inoltre risulta
$dx=de^t=e^tdt$
dal momento che $e^t$ che se stessa come derivata.
Detto ciò, attuiamo la sostituzione e semplifichiamo subito $e^t$, ottenendo
$intlogx/(xsqrt(4+3log^(2)x))dx=intt/(sqrt(4+3t^2))dt$
Moltiplicando e dividendo per $3$ possiamo ricondirci a un integrale dalla forma riconoscibile
$1/3*int(3t)/(sqrt(4+3t^2))dt$
il cui risultato è
$1/3sqrt(4+3t^2)+c$
e operando nuovamente la sostituzione, torniamo in $x$
$1/3sqrt(4+3ln^2(x))+c$

Una seconda possibile via di risoluzione poteva esserci suggerita dal fatto che
$D(ln^2x)=2lnx/x$
L’integrale poteva dunque essere riscritto nel seguente modo
$int lnx/x*(4+3*ln^2x)^(-1/2)$
da cui discende il risultato già ottenuto prima.

FINE