$int(x-1)/(x^3+x)dx$

A cura di: Francesco Speciale

Svolgimento:

$f(x)=(x-1)/(x^3+x)=(x-1)/(x(x^2+1))$
La funzione può essere decomposta nella somma: $A/x+(Bx+C)/(x^2+1)$
con $A,B,C$ costanti da determinare.
Eseguendo la somma si ha:
$(A(x^2+1)+x(Bx+C))/(x(x^2+1))$ cioè:
$(x^2(A+B)+Cx+A)/(x(x^2+1))$
Deve quindi essere:
${(A+B=0),(C=1),(A=-1):}$
 
perciò:
$A=-1,B=1,C=1$
L’integranda diventa dunque:
$-1/x+(x+1)/(x^2+1)$ la cui primitiva si può
ora calcolare facilmente, e risulta:
$-ln|x|+1/2ln(x^2+1)+arctg(x)+C$