La Serie Armonica

La serie armonica è una serie divergente e può essere usata come termine di confronto per determinare se una serie diverge. Se la serie in esame è, da un certo indice in poi, maggiore, termine a termine, della serie armonica, allora essa è certamente divergente. Dimostriamo la divergenza della serie armonica. La serie è data da

Uk=1/k; S=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…

raggruppiamo i termini a partire dal secondo a gruppi di 1, 2, 4, 8, 16, …

S=1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+…

in ogni parentesi sosituiamo i termini presenti con il più piccolo di essi; così facendo si ottiene una nuova serie, certamente minore di quella data

S=1+(1/2)+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+1/16+…

svolgiamo i calcoli nelle parentesi e otteniamo una nuova serie, anch'essa infinita

S=1+(1/2)+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+…

S=1+1/2+1/2+1/2+1/2+…

potrebbe sembrare che la nuova serie contenga meno termini della precedente; si ragioni attentamente sulla definizione di infinito data da G. Cantor e si capirà che il numero di termini è invece lo stesso e ugualmente infinito. La serie ottenuta è una serie a termini costanti e pertanto certamente divergente. Poichè essa è senz'altro minore della serie armonica se ne deduce che anche la serie armonica è divergente.