$\lim_{n \to +\infty}n( n^(-1/n)-1)$

A cura di: Antonio Bernardo

Calcolare     $lim_{n to +infty}n( n^(-1/n)-1)$ 

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Grazie alla nota identità  $x=e^(log x)$ (per $x>0$)

si ha

$n^(-1/n)=e^(log (n^(-1/n)))=e^((-log n)/n)$.

Sapendo che

$(log n)/n to 0$ se $n to +infty$         (1)

riscrivo il termine generale come

$n( n^(-1/n)-1)=n(e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n)(-log n)/n=-log n (e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n)$

Ricordando il limite notevole

$lim_{x to 0}(e^x-1)/x=1$

trovo, grazie a (1)

$lim_{n to +infty}(e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n)=1$

da cui

$lim_{n to +infty}n( n^(-1/n)-1)=lim_{n to +infty}(-log n (e^((-log n)/n)-1)/((-log n)/n))=-infty$.

FINE