$lim_(x->0)(1/x-1/(e^x-1))$

A cura di: Stefano Sannella

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Calcolare
$lim_(x->0)(1/x-1/(e^x-1))$

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Il limite presenta una forma indeterminata, infatti
$lim_(x->0)(1/x-1/(e^x-1))=infty -infty$
Sommiamo la due frazioni per ottenerne una sola, quindi trovando il minimo comun denominatore otteniamo
$lim_(x->0)(e^x-1-x)/(x(e^x-1))=0/0$
che è una nuova forma indeterminata ma più facile da trattare.
Infatti i casi di indeterminazione del tipo $0/0$ sono affrontabili applicando il Teorema di De L’Hopital.
Procedendo in questo senso, deriviamo numeratore e denominatore
$lim_(x->0)(e^x-1-x)/(x(e^x-1))=lim_(x->0)(e^x-1)/(e^x-1+e^x x)$
A questo punto possiamo cavarcela con i limiti notevoli.
Proviamo a mettere in evidenza $x$ al numeratore e al denominatore
$lim_(x->0)(x((e^x-1)/x))/(x*[((e^x-1)/x)+e^x]$
Semplificando la $x$, e ricordando il limite notevole
$lim_(xto0)frac{e^x-1}{x}=1$, otteniamo agevolmente
$lim_(x->0)((e^x-1)/x)/(((e^x-1)/x)+e^x)=1/(1+1)=1/2$

FINE