$lim_(x->2) \frac{3x+1}{x-1}

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 2} 

Effettuare la verifica del seguente limite
$lim_(x->2) frac{3x+1}{x-1}=7$

 

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Impostiamo dunque la disequazione

$|(3x+1)/(x-1) – 7| < epsilon $
e verifichiamo che è soddisfatta per i valori di $x$ appartenenti ad un intorno di $2$

Procediamo:
$|(3x+1-7x+7)/(x-1)|<epsilon$
$|(-4x+8 )/(x-1)|<epsilon$
${((-4x+8 )/(x-1)<epsilon),((-4x+8 )/(x-1)> -epsilon):}$

Risolviamole separatamente

A)[b]$(-4x+8 )/(x-1)> -epsilon  ->(-4x+8+epsilonx-epsilon)/(x-1)>0->((-4+epsilon)x+8-epsilon)/(x-1)>0$[/b]
Ora per [b]$epsilon$ [/b]sufficientemente piccolo il coefficiente di x  a numeratore è negativo e quindi conviene cambiare segno:
[b]$((4-epsilon)x-8+epsilon)/(x-1)<0$[/b]
che risolta dà : [b]$1<x<(8-epsilon)/(4-epsilon)$

B)[b]$(-4x+8 )/(x-1)< epsilon  ->(-4x+8-epsilonx+epsilon)/(x-1)<0->((-4-epsilon)x+8+epsilon)/(x-1)<0$[/b]
Anche qui il coefficiente di $x$ a numeratore è negativo e quindi conviene cambiare segno:
[b]$((4+epsilon)x-8-epsilon)/(x-1)>0$[/b]
che risolta da’ : [b]$x<1$[/b]  oppure [b]$ x>(8+epsilon)/(4+epsilon)$[/b]
Mettendo insieme le due soluzione si trova che la disequazione iniziale è risolta per:
[b]$(8+epsilon)/(4+epsilon)<x<(8-epsilon)/(4-epsilon)$[/b]
Che la soluzione sia esatta lo si vede dal fatto che essa corrisponde effettivamente
ad un intorno di 2.

FINE