A cura di: Stefano Sannella
Calcolare il limite
$lim_(x->-infty)sqrt(x^2+2x+3))+x$
La forma è indeterminata, del tipo $+oo-oo$
E’ noto che in casi come questi la via più frequente è quella di moltiplicare per la somma o la differenza dei due addendi.
Moltiplicando dunque numeratore e denominatore per $sqrt(x^2+2x+3)-x$ si ha
$lim_(x->-infty)((sqrt(x^2+2x+3))+x)$=$lim_(x->-infty)(2x+3)/(sqrt(x^2+2x+3)-x)$
Raccogliamo al radicando un fattore $x^2$ e portiamolo fuori dalla radice
$lim_(x->-infty)(2x+3)/(|x|sqrt(1+2/x+3/x^2)-x)$
Inoltre ricordiamo che per $x$ che tende a valori negativi, si ha $|x|=-x$, perciò
$lim_(x->-infty)(2x+3)/(-xsqrt(1+2/x+3/x^2)-x)=lim_(x->-infty)(2x+3)/(-x(sqrt(1+2/x+3/x^2)+1))=-1$
La parentesi al denominatore tendeva infatti a $2$, giacchè la radice tendeva a $sqrt1$ ovvero $1$. Perciò il valore del denominatore è $-2x$. Al numeratore si aveva $2x+3$, ma possiamo trascurare il $3$ per valori grandi di $2x$. Da qui il risultato.
FINE
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