$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x^4 - 6x^6} -2x^2}{\log^2(\cos(x))}$

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli
$lim_{x to 0} frac{sqrt{4 x^4 – 6x^6} -2x^2}{log^2(cos(x))}$

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SOLUZIONE 1
Senza usare il teorema di De L’Hopital o Taylor, usiamo esclusivamente i limiti notevoli.
In questo caso abbiamo quindi

$lim_{x to 0} frac{sqrt{4 x^4 – 6x^6} -2x^2}{log^2(cos(x))} = lim_{x to 0} frac{-6 x^2}{sqrt{4 – 6x^2} + 2} (-frac{x}{sin^2(x)} (cos(x) + 1))^2 (frac{cos(x) – 1}{log(1 + (cos(x) – 1))})^2 =$

$= lim_{x to 0} frac{-6}{sqrt{4 – 6x^2} + 2} (frac{x}{sin(x)})^4 (cos(x) + 1)^2 (frac{cos(x) – 1}{log(1 + (cos(x) – 1))})^2 = frac{-6}{4} cdot (1)^4 cdot (1+1)^2 cdot (1)^2 = -6$

SOLUZIONE 2
Oppure, un secondo procedimento valido è il seguente

$lim_(x->0)(sqrt(4x^4-6x^6)-2x^2)/(log(cosx))^2$, una volta considerato che il dominio della funzione è $x in [-sqrt(3/2), +sqrt(3/2)]$, portiamo fuori dalla radice  $4x^4$, (è la stessa cosa solo $x^4$ come ti hanno già suggerito) e razionalizziamo il numeratore, ottenendo (senza riscrivere limite):

$(2x^2*[sqrt(1-3/2x^2)-1]*[sqrt(1-3/2x^2)+1])/(log^2(cos x)*[sqrt(1-3/2x^2)+1])=(-3x^4)/(log^2(cos x)*[sqrt(1-3/2x^2)+1])$
il limite della parentesi quadra al denominatore è 2, quindi il limite da calcolare lo possiamo scrivere anche come:
$-3/2*lim_(x->0)[(x^2)/(log(cosx))]^2$
Svolgendo con L’Hopital
$lim_(x->0)(x^2)/(log(cosx))=lim_(x->0)(2x)/((-senx)/(cosx))=lim_(x->0)(-(2x cosx)/(senx))=-2$, tenendo conto del limite notevole $x/(senx)$
dunque il limite cercato è $-3/2*(-2)^2=-6$

FINE