$lim_{x to 0}(ln((e^x-1)/x))/x$

A cura di: Stefano Sannella

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Calcolare il limite
$lim_{x to 0}(ln((e^x-1)/x))/x$

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La forma è indeterminata, $0/0$
Infatti sostituendo il valore $x=0$, abbiamo al numeratore $ln1$ ovvero $0$, per un limite notevole, e al denomintore ovviamente $0$

Procediamo con il teorema di De L’Hopital.
Derivando, si ha
$lim_{x to 0}((D((e^x-1)/x))/(((e^x-1)/x)))/1$ (con D intendiamo la derivata)
$=lim_{x to 0}((xe^x-e^x+1)/(x^2))/((e^x-1)/x)$
Il denominatore della frazione più grande non lo ricopiamo, infatti esso vale $1$ per lo stesso limite notevole di prima.
Si ha
$lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^2)$
Derivando nuovamente
$lim_{x to 0}(e^x+xe^x-e^x)/(2x)$
Semplificando
$lim_{x to 0}(e^x)/(2)=1/2$ poichè è noto che $e^0=1$ e quindi $e^0/2=1/2$

FINE